Διατεταγμένο ζεύγος

Ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί να οριστεί ως μία συλλογή από δύο αντικείμενα στην οποία καθορίζεται η διάταξη των αντικειμένων, έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να είναι το πρώτο και το άλλο το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους. Συνήθως συμβολίζεται με δύο γωνιακές παρενθέσεις ή με δύο απλές παρενθέσεις, για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος με πρώτο στοιχείο το ${\displaystyle a\,}$ και δεύτερο το ${\displaystyle b\,}$ σημειώνεται ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ή ${\displaystyle (a,b)\,}$ .

Ενώ για τα σύνολα η αρχή της ταυτότητας δεν περιλαμβάνει διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι ${\displaystyle \left\{1,2\right\}=\left\{2,1\right\}}$, αντίθετα για τα διατεταγμένα ζεύγη η αρχή της ταυτότητας περιλαμβάνει τη διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι ${\displaystyle \ \langle 1,2\rangle \neq \langle 2,1\rangle }$ .

Έχουν προταθεί αρκετοί διαφορετικοί τυπικοί ή αυστηροί ορισμοί για την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους, η οποία άλλοτε ορίζεται ως πρωταρχική έννοια και άλλες φορές ορίζεται με βάση τα σύνολα. Ένας τυπικός ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους είναι αυτός του Kuratowski:

${\displaystyle \langle a,b\rangle :=\left\{\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}}$ .

Με βάση αυτόν τον ορισμό η ιδιότητα ότι το στοιχείο ${\displaystyle x\,}$ είναι το πρώτο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους ${\displaystyle p\,}$ μπορεί να λάβει τη μορφή

${\displaystyle \forall {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y}}$ ,

και η ιδιότητα ότι το στοιχείο ${\displaystyle x\,}$ είναι το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους ${\displaystyle p\,}$ μπορεί να λάβει τη μορφή

${\displaystyle (\exists {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y})\land (\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}}))}$ .