Διπλασιασμός του κύβου

Ο διπλασιασμός του κύβου (επίσης γνωστός ως πρόβλημα της Δήλου ή Δήλιον πρόβλημα) είναι ένα από τα τρία γνωστά προβλήματα της αρχαιότητας^[1] που δεν είναι δυνατόν να λυθούν μόνο με κανόνα και διαβήτη. Ήταν γνωστό στους μαθηματικούς της αρχαιότητας στην Αίγυπτο, την Ελλάδα και την Ινδία.^[2] Τα άλλα δύο είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου και η τριχοτόμηση της γωνίας.

Το πρόβλημα είναι ως εξής: Δίνεται ένας κύβος με γνωστό μήκος πλευράς ${\displaystyle \alpha }$ και ζητείται να κατασκευαστεί με κανόνα και διάβητη η πλευρά ενός κύβου με τον διπλάσιο όγκο.

Άμα απλά διπλασιάσουμε το μήκος της πλευράς του κύβου, τότε οκταπλασιάζεται ο όγκος του. Το 1837, ο Πιέρ Βαντσέλ απέδειξε ότι δεν είναι δυνατή η κατασκευή μόνο με κανόνα και διαβήτη, ενώ πολλές κατασκευές με παραπάνω εργαλεία είναι γνωστές από την αρχαιότητα.

Ο μύθος

Αρκετοί μύθοι υπάρχουν για την προέλευση του Δήλιου προβλήματος. Ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος σύγχρονος του Αρχιμήδη σε επιστολή του προς τον Έλληνα Βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεμαίο αναφέρει ότι σύμφωνα με πληροφορία αρχαίου τραγωδού ο Μίνωας είχε παραγγείλει να κατασκευαστεί ένας τάφος για τον γιο του Γλαύκο με κυβικό σχήμα. Όταν κατασκευάστηκε ο Μίνωας τον θεώρησε μικρό και διέταξε να τον διπλασιάσουν.

Ο Θέων ο Σμυρναίος σε ένα διάλογο του με τίτλο Πλατωνικός, του οποίου διασώζονται αποσπάσματα,^[3] αναφέρει ότι οι κάτοικοι της Δήλου αρρώστησαν και ζήτησαν από το Μαντείο των Δελφών να τους πει τι να κάνουν για να γλυτώσουν. Η Πυθία τους απάντησε ότι πρέπει να διπλασιάσουν σε όγκο τον ναό του Απόλλωνα που είχε σχήμα κύβου διατηρώντας παράλληλα το κυβικό σχήμα. Οι Δήλιοι αρχικά πίστεψαν ότι το πρόβλημα ήταν απλό και λυνόταν με διπλασιασμό των πλευρών. Όταν ανακάλυψαν ότι αυτό δεν διπλασιάζει τον όγκο αλλά τον οχταπλασιάζει έστειλαν πρέσβεις στην Ακαδημία Πλάτωνος και ζήτησαν λύση του προβλήματος. Ο Πλάτωνας μάλιστα τους απάντησε ότι ο θεός έδωσε αυτόν τον χρησμό στους Δήλιους, όχι επειδή είχε ανάγκη ενός διπλάσιου βωμού, αλλά για να κατακρίνει και να επιπλήξει τους Έλληνες, επειδή αμελούν τα μαθηματικά και περιφρονούν τη γεωμετρία.

Το άλυτο του προβλήματος

Την εποχή που παρουσιάζεται το πρόβλημα κάθε μαθηματική μέθοδος που δεν χρησιμοποιεί αποκλειστικά κανόνα και διαβήτη θεωρείται ασέβεια. Οι αρχαίοι μαθηματικοί πιθανότατα γνώριζαν ότι ήταν αδύνατη η λύση μόνο με κανόνα και διαβήτη αλλά δεν έχει διασωθεί καμία απόδειξη.^[4]

Πιο κοντά στη λύση βρέθηκε ο Ιπποκράτης ο Χίος ο οποίος απέδειξε το 460 ή 430 π.Χ. ότι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων όταν δοθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα το ένα διπλάσιο του άλλου. Από αυτό συνάγεται ότι για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

Με τα σύγχρονα μαθηματικά αποδείχθηκε ότι το πρόβλημα δεν είναι δυνατόν να λυθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη και δόθηκε τέλος στην αναζήτηση λύσης αυτής της μορφής.^[5]

Η «λύση»

Αρκετοί αρχαίοι και νεότεροι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα όπως ο Αρχύτας ο Ταραντίνος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος, ο Μέναιχμος, ο Νικομήδης, ο Απολλώνιος ο Περγαίος, ο Διοκλής, ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς, ο Καρτέσιος και άλλοι.^{[6] [4][5]} Όλοι όμως έδιναν λύση που χρησιμοποιούσε και άλλες μεθόδους πλην της κλασσικής.

Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης δίνει στα έργα του πληροφορίες για 12^[1] λύσεις του Δήλιου προβλήματος. Σήμερα σημαντικότερη θεωρείται η λύση του Αρχύτα^[7][8][9] καθώς χρησιμοποιεί τρία στερεά: κύλινδρο, κώνο, και σφαίρα.

Πιο περίπλοκες μέθοδοι περιλαμβάνουν την Κισσοειδή του Διοκλή, την Κογχοειδή του Νικομήδη, ή τη γραμμή του Φίλωνα του Βυζαντινού.

Κατασκευή

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να κατασκευάσουμε ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, αλλά χρειαζόμαστε βοηθητικά εργαλεία πέρα του χάρακα και του διαβήτη. Παραδείγματος χάριν:

• Θα χρειαστείτε έναν μεγάλο χάρακα με την σημειωμένη σε κάποιο σημείο τη μονάδα μήκους που θα χρησιμοποιηθεί.
• Κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC με μήκος πλευράς 1 μονάδα μήκους.
• Προεκτείνετε την πλευρά ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ κατά μια μονάδα διαμορφώνοντας το ευθύγραμμο τμήμα ${\displaystyle {\overline {ABD}}}$.
• Προεκτείνετε την πλευρά ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ διαμορφώνοντας την ημιευθεία ${\displaystyle {\overrightarrow {BCE}}}$.
• Φέρετε τώρα την ημιευθεία ${\displaystyle {\overrightarrow {DCF}}}$.
• Τώρα πάρτε τον χάρακα και τοποθετήστε τον έτσι ώστε να αγγίζει το σημείο Α και να τέμνει την ημιευθεία ${\displaystyle {\overline {DCF}}}$ στο σημείο G και την ημιευθεία ${\displaystyle {\overline {BCE}}}$ στο σημείο H, έτσι ώστε η απόσταση GH να είναι ακριβώς 1 μονάδα μήκους.
• Το ευθύγραμμο τμήμα AG θα έχει το ζητούμενο μήκος ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

Δείτε επίσης

• Κατασκευάσιμος αριθμός
• Τετραγωνισμός του κύκλου
• Τριχοτόμηση της γωνίας
• Κατασκευάσιμο πολύγωνο

Παραπομπές

1. «Τρία 'Αλυτα Προβλήματα». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Ιανουαρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 21 Ιανουαρίου 2010. 
2. Guilbeau, Lucye (1930). «The History of the Solution of the Cubic Equation». Mathematics News Letter 5 (4): 8-12. 
3. ο διπλασιασμός του κύβου, http://users.sch.gr/thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCube/theProblem.html 
4. Σταμάτης, Ευάγγελος (1974). «Αρχύτας ο Ταραντίνος». Ο Ευκλείδης (Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία) (5). http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=874. 
5. «Το Δήλιο πρόβλημα». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2 Μαρτίου 2010. Ανακτήθηκε στις 21 Ιανουαρίου 2010. 
6. Σωτήρης Γκουντουβάς (2021), Γεωμετρικές Διαδρομές, σελ.110-140
7. Heath, Thomas L. A history of Greek mathematics. 1: From Thales to Euclid. New York: Dover Publ. ISBN 978-0486240732. 
8. Huffman, Carl (2005). «III - Geometry: The duplication of the cube». Archytas of Tarentum: Pythagorean, Philosopher and Mathematician King. ISBN 9780511482533. 
9. Davies, Barry. «To Double a Cube -- The Solution of Archytas» (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2008. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Doubling the cube. J. J. O'Connor and E. F. Robertson στο MacTutor History of Mathematics archive. (Αγγλικά)
• Delian Problem Solved. Or Is It? στο cut-the-knot. (Αγγλικά)