Εικασία του Γκόλντμπαχ

Γραφική απεικόνιση της εικασίας του Γκόλντμπαχ για τους ζυγούς αριθμούς από το 4 έως το 50.

Η εικασία του Γκόλντμπαχ[1] είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, , όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα[2],

  4 = 2 + 2
  6 = 3 + 3
  8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
κτλ.

Ιστορική αναδρομή

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:[3]

Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων.

Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής

Κάθε περιττός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,

προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.

Προσπάθειες απόδειξης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών[4][5], υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Ο εκδοτικός οίκος "Faber and Faber" προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Γκόλντμπαχ μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.

Δεύτερη Εικασία του Γκόλντμπαχ

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η δεύτερη εικασία ή ασθενής εικασία του Γκόλντμπαχ αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Η εικασία ονομάζεται ασθενής, γιατί αν αποδειχθεί η κύρια εικασία, η απόδειξή αυτής είναι εύκολη. Κάθε άρτιος ακέραιος σύμφωνα με την εικασία, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Προσθέτοντας σε αυτό το άθροισμα το 3 κατασκευάζονται όλοι οι περιττοί αριθμοί οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι του 5. Η ασθενής εικασία αποδείχτηκε το 2013 από τον περουβιανό μαθηματικό Χάραλντ Άντρες Χέλφγκοτ (Harald Andrés Helfgott)[6].

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ «Goldbach conjecture | Prime numbers, Number theory, Diophantine equations | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). 27 Νοεμβρίου 2024. Ανακτήθηκε στις 26 Δεκεμβρίου 2024. 
  2. ↑ «Art of Problem Solving». artofproblemsolving.com. Ανακτήθηκε στις 26 Δεκεμβρίου 2024. 
  3. ↑ Wang, Yuan (2002). Goldbach Conjecture. World Scientific. ISBN 978-981-238-159-0. 
  4. ↑ «The proof of Goldbach's Conjecture - Ariel University of Samaria». 
  5. ↑ «Definitive General Proof of Goldbach's conjecture - arxiv.org». 
  6. ↑ «Harald Andrés Helfgott». Alexander von Humboldt-Professur. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2017-11-28. https://web.archive.org/web/20171128004700/http://www.humboldt-professur.de/en/preistraeger/preistraeger-2015/helfgott-harald-andres. Ανακτήθηκε στις 2018-02-05. 

Βιβλιογραφία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]