Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ

Στον λογισμό των μεταβολών, η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ είναι μία διαφορική εξίσωση της οποίας οι λύσεις είναι συναρτήσεις για τις οποίες ένα δεδομένο συναρτησοειδές (συνάρτηση συναρτήσεων) παρουσιάζει ακρότατο. Η εξίσωση αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Λέοναρντ Όιλερ και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ τη δεκαετία του 1750.

Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ έχει σημαντικές εφαρμογές στη θεωρητική φυσική, καθώς αποτελεί τη θεωρητική βάση θεμελίωσης της Λαγκρανζιανής και Χαμιλτονιανής μηχανικής.

Τοποθέτηση του προβλήματος

Έστω διαφορίσιμη συνάρτηση q(t) (όπου t κάποια πραγματική μεταβλητή) που ορίζεται στο διάστημα [a,b]. Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ προκύπτει από την απαίτηση το συναρτησοειδές

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}L\left(t,q(t),{\dot {q}}(t)\right)dt}$

να παρουσιάζει ακρότατο. Η συνάρτηση L είναι μία πραγματική, δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη^[1] συνάρτηση που ορίζεται στο διάστημα [a,b] και η τελεία αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς τη μεταβλητή t. Τα ακρότατα του συναρτησοειδούς S προκύπτουν από την εξίσωση

${\displaystyle \delta S=0\ ,\ \ \ }$

όπου δS είναι η μεταβολή πρώτης τάξης του συναρτησοειδούς S.

Λύση

Η απαίτηση το συναρτησοειδές S να παρουσιάζει ακρότατο οδηγεί στη λεγόμενη εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)}$

Η εξίσωση αυτή είναι μία διαφορική εξίσωση, οι λύσεις της οποίας είναι οι συναρτήσεις q(t) που εξασφαλίζουν την βασική απαίτηση του προβλήματος.

Απόδειξη

Η μεταβολή πρώτης τάξης του συναρτησοειδούς S είναι: ${\displaystyle \delta S=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right)dt}$ Ολοκληρώνοντας τον τελευταίο όρο κατά παράγοντες, ${\displaystyle \delta S=\int _{a}^{b}\delta q\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\right]dt+\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{a}^{b}}$ Ο τελευταίος όρος όμως είναι μηδέν, καθώς η μεταβολή πρώτης τάξης της συνάρτησης q είναι μηδέν στα άκρα του διαστήματος [a,b]. Συνεπώς, ${\displaystyle \delta S=\int _{a}^{b}\delta q\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\right]dt}$ Αφού αναζητούμε λύσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη δS=0, θα πρέπει το παραπάνω ολοκλήρωμα να ισούται με μηδέν. Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού των μεταβολών, η απαίτηση αυτή ισοδυναμεί με την απαίτηση η ολοκληρωτέα ποσότητα να μηδενίζεται, ήτοι ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)=0}$ που είναι η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ.

Παραδείγματα

Ελάχιστη απόσταση σημείων στον Ευκλείδειο χώρο

Ένα από τα πιο κλασικά παραδείγματα εφαρμογής της εξίσωσης Όιλερ-Λαγκράνζ είναι στον υπολογισμό της ελάχιστης απόστασης μεταξύ δύο σημείων στον Ευκλείδειο χώρο. Για ευκολία, επιλέγουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο δύο τυχαία σημεία Α και Β στο χώρο έχουν συντεταγμένες (x_a,y_a,0) και (x_b,y_b,0) αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων ισούται τότε με το ολοκλήρωμα

${\displaystyle S=\int _{A}^{B}ds=\int _{a}^{b}\left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1\right]^{1/2}dx}$

όπου

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}\ \ \ }$

το απειροστό μήκος καμπύλης που σχετίζεται με τις απειροστές μετατοπίσεις dx και dy κατά τους άξονες x και y μέσω του Πυθαγορείου θεωρήματος. Η σχέση αυτή ορίζει την μετρική του Ευκλείδειου χώρου.

Εδώ η συνάρτηση y(x) είναι η ζητούμενη καμπύλη το μήκος της οποίας ισούται με την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Κατ' αναλογία με το πρόβλημα ελαχιστοποίησης που καταλήγει στην εξίσωση Όιλερ Λαγκράνζ, η συνάρτηση αυτή προσδιορίζεται από τη διαφορική εξίσωση

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial y}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial L}{\partial y'}}\right)}$

με

${\displaystyle L\left(x,y(x),y'(x)\right)={\sqrt {y'^{2}+1}}}$

όπου ο τόνος αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς τη μεταβλητή x. Εκτελώντας τις πράξεις,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial y}}=0\\&{\frac {\partial L}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\end{aligned}}}$

Άρα λοιπόν,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)=0}$

Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι μία ευθεία της μορφής

${\displaystyle y(x)=\alpha x+\beta \ \ \ }$

όπου α και β σταθερές. Στον Ευκλείδειο χώρο λοιπόν η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν τα σημεία αυτά πάνω στην ευθεία που τα ενώνει.

Ελάχιστη απόσταση σημείων στην επιφάνεια σφαίρας

Ανάλογα επιχειρήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην περίπτωση που επιθυμούμε να υπολογίσουμε την ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μίας σφαίρας. Το διαφορικό ds μίας καμπύλης στην επιφάνεια μίας σφαίρας ακτίνας a σχετίζεται με τις γωνιακές συντεταγμένες (θ,φ) των σφαιρικών συντεταγμένων μέσω της σχέσης:

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}d\theta ^{2}+a^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\ \ \ }$

Δίχως βλάβη της γενικότητας, το σύστημα συντεταγμένων μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε τα δύο τυχαία σημεία Α και Β στην επιφάνεια της σφαίρας να έχουν συντεταγμένες (0,φ_a) και (0,φ_b) αντίστοιχα. Με βάση τη σύμβαση αυτή, το πρόβλημα προσδιορισμού της ελάχιστης απόστασης μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μίας σφαίρας ανάγεται στην ελαχιστοποίηση της ποσότητας

${\displaystyle S=\int _{A}^{B}ds=\int _{\phi _{a}}^{\phi _{b}}ad\phi =a(\phi _{b}-\phi _{a})}$

Η ποσότητα αυτή είναι όμως σταθερή, συνεπώς η συνθήκη δS=0 ικανοποιείται πάντα. Άρα λοιπόν, η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο τυχαίων σημείων στην επιφάνεια μίας σφαίρας αντιστοιχεί στο μήκος τόξου που ορίζουν τα σημεία αυτά από τα οποία διέρχεται ένας μεγάλος κύκλος (κύκλος με κέντρο που συμπίπτει με το κέντρο της σφαίρας).

Παραπομπές

1. Courant, Richard· Hilbert, David (1953). Methods of Mathematical Physics. Νέα Υόρκη: Interscience Publishers, Inc. σελίδες 184. ISBN 978-0471504474. 

Βιβλιογραφία

• Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Wolfram Mathworld. «Euler-Lagrange Differential Equation».