Θεώρημα πρώτων αριθμών

Στη θεωρία αριθμών , το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακεραίων. Το θεώρημα αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τον Ζακ Χανταμάρ και τον Σαρλ Ζαν ντε λα Βαλέ-Πουσέν το 1896 χρησιμοποιώντας ιδέες που εισήγαγε ο Μπέρναρντ Ρίμαν (ειδικότερα, η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν).

Η πρώτη τέτοια κατανομή που βρέθηκε είναι η π(N) ~ N / log(N), όπου π(N) είναι η συνάρτηση καταμέτρησης των πρώτων αριθμών και log(N) είναι ο φυσικός λογάριθμος του N. Αυτό σημαίνει ότι για αρκετά μεγάλα Ν, η πιθανότητα ένας τυχαίος ακέραιος που δεν είναι μεγαλύτερος από το Ν είναι πρώτος αν είναι πολύ κοντά στο 1 / log(N). Κατά συνέπεια, ένας τυχαίος ακέραιος με το πολύ 2n ψηφία ( για αρκετά μεγάλο n) έχει περίπου τις μισές πιθανότητες να είναι πρώτος από ένα τυχαίο ακέραιο με το πολύ n ψηφία. Για παράδειγμα, μεταξύ των θετικών ακεραίων με το πολύ 1000 ψηφία, περίπου ένα στους 2300 είναι πρώτος (log(10¹⁰⁰⁰) ≈ 2302.6), λαμβάνοντας υπόψη ότι μεταξύ των θετικών ακέραιων με το πολύ 2000 ψηφία περίπου ένα στους 4600 είναι πρώτος (log(10²⁰⁰⁰) ≈ 4605.2). Με άλλα λόγια, η μέση διαφορά ανάμεσα στους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς μεταξύ των πρώτων N ακεραίων είναι περίπου log(N).^[1]

Παρουσίαση

Το γράφημα δείχνει το λόγο της συνάρτησης καταμέτρησης των πρώτων π(x) στις δύο προσεγγίσεις της, x/log x και Li(x). Όσο το x αυξάνεται (σημείωση ο άξονας x είναι λογαριθμικός), και οι δύο λόγοι τείνουν στο 1. Ο λόγος για το x/log x συγκλίνει αργά στην πάνω συνάρτηση, ενώ ο λόγος Li(x) συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα στην δεύτερη συνάρτηση.

Ας είναι π(x) η συνάρτηση καταμέτρησης των πρώτων αριθμών που δίνει τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το x, για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό x.

Για παράδειγμα, π(10)=4 επειδή υπάρχουν 4 πρώτοι αριθμοί (2,3,5 και 7) μικρότεροι ή ίσοι με το 10.Το θεώρημα πρώτων αριθμών αναφέρει ότι x / log(x) είναι μια καλή προσέγγιση της π(x), με την έννοια ότι το όριο του πηλίκου από τις δύο συναρτήσεις π(x) και x / log(x) όσο αυξάνεται το x χωρίς όριο είναι 1 :

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1,}$

που είναι γνωστό ως ο ασυμπτωτικός κανόνας της κατανομής των πρώτων αριθμών. Χρησιμοποιώντας την ασυμπτωτική σημειογραφία το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.\!}$

Αυτή η σημείωση (και το θεώρημα) δεν αναφέρεται στο όριο της διαφοράς των δυο συναρτήσεων όσο το x αυξάνεται χωρίς όριο. Αντί αυτού, το θεώρημα αναφέρει ότι x / log(x) προσεγγίζει την π(x) με την έννοια ότι το σχετικό σφάλμα της προσέγγισης προσεγγίζει το 0 όσο το x αυξάνεται χωρίς όριο.

Η γραφική παράσταση του λογαρίθμου-λογαρίθμου δείχνει το απόλυτο σφάλμα του x/log x και Li(x), οι δύο προσεγγίσεις της συνάρτησης καταμέτρησης των πρώτων π(x). Σε αντίθεση με τον λόγο, η διαφορά μεταξύ των π(x) και x/log x αυξάνεται χωρίς όρια όσο το x αυξάνεται. Από την άλλη μεριά, το Li(x)-π(x) εναλλάσσει πρόσημο άπειρες φορές.

Το θεώρημα πρώτων αριθμών είναι ισοδύναμο με το ότι ο νιοστός πρώτος αριθμός p_n ικανοποιεί

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n)}$.

η ασυμπτωτική σημειογραφία σημαίνει, ξανά. ότι το σχετικό σφάλμα της προσέγγισης προσεγγίζει το 0 καθώς το n αυξάνεται χωρίς όριο. Για παράδειγμα, το 200  · 10¹⁵ τη πρώτος αριθμός είναι 8512677386048191063,^[2] και (200 · 10¹⁵)log(200 · 10¹⁵) που είναι ο 7967418752291744388, με σχετικό σφάλμα της τάξης 6.4%.

Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι επίσης ισοδύναμο με

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta \left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1}$,

όπου ${\displaystyle \vartheta }$ και ${\displaystyle \psi }$ είναι η πρώτη και η δεύτερη συνάρτηση Τσεμπισιόφ αντίστοιχα.

Η ιστορία του ασυμπτωτικού κανόνα της κατανομής των πρώτων αριθμών και η απόδειξη της.

Κατανομή των πρώτων μέχρι τον 19# (9699690).

Με βάση τους πίνακες από τους Anton Felkel και  Jurij Vega, ο Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ υπέθεσε το 1797 ή 1798 ότι το π(a) προσεγγίζεται από τη συνάρτηση a/(A log(a) + B), όπου Α και Β είναι απροσδιόριστες σταθερές. Στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου του για τη θεωρία αριθμών (1808) έκανε μια πιο ακριβή εικασία, με  A = 1 και B = −1.08366. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους μελέτησε την ίδια ερώτηση στην ηλικία των 15 ή 16 από το 1792 ή το 1793, σύμφωνα με τις δικές του αναμνήσεις το 1849.^[3] To 1838 ο Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ συνέλαβε μια νέα προσεγγιστική συνάρτηση, το λογαριθμικό ολοκλήρωμα li(x) (από μια ελαφρώς διαφορετική μορφή μιας σειράς, την οποία ο ίδιος κοινοποίησε στον Γκάους). Οι τύποι των Λεζάντρ και Ντίριχλετ υπονόησαν την ίδια εικασία της ασυμπτωτικής ισοδυναμίας των π(x) και x / log(x) που προαναφέρθηκαν, αν και αποδείχθηκε ότι η προσέγγιση του Ντίριχλετ είναι σημαντικά καλύτερη, αν μελετήσει κανείς τις διαφορές αντί για το πηλίκο.

Σε δύο έγγραφα από το 1848 και το 1850, ο Ρώσος μαθηματικός Παφνούτι Τσεμπισιόφ προσπάθησε να αποδείξει τον ασυμπτωτικό νόμο της κατανομής των πρώτων αριθμών. Το έργο του είναι αξιοσημείωτο για τη χρήση της ζήτα συνάρτησης ζ(s) (για πραγματικές τιμές του ορίσματος "s", όπως είναι οι εργασίες του Λέοναρντ Όιλερ, ήδη από το 1737) πριν από τα απομνημονεύματα του Ρίμαν το 1859, και κατάφερε να αποδείξει μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή του ασυμπτωτικού νόμου, δηλαδή, ότι αν το όριο του π(x)/(x/log(x)) καθώς το x τείνει στο άπειρο υπάρχει, τότε είναι αναγκαστικά ίσο με το ένα.^[4] Ήταν σε θέση να αποδείξει ανεπιφύλακτα ότι η αναλογία αυτή είναι φραγμένη πάνω και κάτω από δυο ρητά δοσμένες σταθερές κοντά στο 1, για όλα τα μεγάλα x.^[5] Παρά το γεγονός ότι ο Τσεμπισιόφ δεν είχε αποδείξει στο έργο του το θεώρημα πρώτων αριθμών, οι εκτιμήσεις του για το π(x) ήταν αρκετά ισχυρές για να αποδείξει το αξίωμα του Μπερτράν, ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ των n και 2n για κάθε ακέραιο n ≥ 2.

Ένα σημαντικό έγγραφο σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών ήταν τα απομνημονεύματα του Ρίμαν το 1859 σχετικά με τον αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότερος από ένα δεδομένο μέγεθος, το μόνο έγγραφο που έγραψε ποτέ για αυτό το θέμα. Ο Ρίμαν εισήγαγε νέες ιδέες σε αυτό το θέμα, η επικεφαλής των οποίων είναι ότι η κατανομή των πρώτων αριθμών είναι στενά συνδεδεμένη με τα μηδενικά της αναλυτικά επεκταμένης συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν μιας σύνθετης μεταβλητής. Ειδικότερα, από αυτό το έγγραφο του Ρίμαν προέρχεται η ιδέα του να εφαρμόσει τις μεθόδους της μιγαδικής ανάλυσης με τη μελέτη της πραγματικής συνάρτησης π(x). Επεκτείνοντας τις ιδέες του Ρίμαν, δύο αποδείξεις του ασυμπτωτικού κανόνα της κατανομής των πρώτων αριθμών εξασφαλίστηκαν ανεξάρτητα από τον Ζακ Ανταμάρ και τον Σαρλ Ζαν ντε λα Βαλέ-Πουσέν και εμφανίστηκαν την ίδια χρονιά (1896). Και στις δύο αποδείξεις χρησιμοποιούνται μέθοδοι από την ανάλυση, που καθόρισαν ως κύριο βήμα ότι η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν ζ(s) είναι μη μηδενική για όλες τις μιγαδικές τιμές της μεταβλητής ${\displaystyle s}$ που έχουν τη μορφή ${\displaystyle s=1+it}$ με ${\displaystyle t>0}$.^[6]

Κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα, το θεώρημα του Ανταμάρ και του ντε λα Βαλέ-Πουσέν έγινε επίσης γνωστό ως θεώρημα πρώτων αριθμών. Αρκετές διαφορετικές αποδείξεις βρέθηκαν, συμπεριλαμβανομένων των «στοιχειωδών» αποδείξεων των Ατλ Σέλμπεργκ και Πολ Έρντος (Paul Erdős, 1949). Ενώ οι αρχικές αποδείξεις των Ανταμάρ και ντε λα Βαλέ-Πουσέν είναι μακροσκελείς και περίτεχνες, μεταγενέστερες αποδείξεις εισήγαγαν διάφορες απλουστεύσεις μέσω της χρήσης των Tauberian θεωρημάτων αλλά παρέμεινε δύσκολο να κατανοηθούν. Μια σύντομη απόδειξη ανακαλύφθηκε το 1980 από τον Αμερικανό μαθηματικό Donald J. Newman .^[7][8] Η απόδειξη του Newman είναι αναμφισβήτητα η πιο απλή γνωστή απόδειξη του θεωρήματος, αν και δεν είναι στοιχειώδης, με την έννοια ότι χρησιμοποιεί το ολοκληρωτικό θεώρημα του Κωσύ από τη μιγαδική ανάλυση.

Μεθοδολογία απόδειξης

Σε μια διάλεξη σχετικά με τους πρώτους αριθμούς για το ευρύ κοινό, ο Τέρενς Τάο που απέκτησε το Μετάλλιο Φιλντς περιέγραψε μια προσέγγιση της απόδειξης του Θ.Π.Α. με ποιητικούς όρους: ακούγοντας τη "μουσική" των πρώτων αριθμών. Ξεκινάμε με ένα "ηχητικό κύμα" που είναι "θορυβώδες " στους πρώτους αριθμούς και σιωπηλό σε άλλους αριθμούς. Αυτή είναι η συνάρτηση του von Mangoldt· Στη συνέχεια αναλύουμε τις "νότες" ή συχνότητές του, υποβάλλοντας το σε μια διαδικασία παρόμοια με το μετασχηματισμό Φουριέ· Αυτός είναι ο μετασχηματισμός Mellin. Το επόμενο και πιο δύσκολο βήμα είναι να αποδειχθεί ότι συγκεκριμένες "νότες" δεν μπορούν να προκύψουν σε αυτή τη μουσική. Αυτή η εξαίρεση συγκεκριμένων "νοτών" οδηγεί στη διατύπωση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών. Σύμφωνα με τον Τάο, η απόδειξη αυτή παράγει πολύ βαθύτερες γνώσεις σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών από τις «στοιχειώδεις» αποδείξεις.^[9]

Σκιαγράφηση Απόδειξης

Θα παρουσιάσουμε μια σκιαγράφηση της απόδειξης του θεωρήματος όπως παρουσιάζεται στη διάλεξη του Τάο που αναφέραμε προηγουμένως. Όπως οι περισσότερες αποδείξεις του Θ.Π.Α, ξεκινάμε επαναπροσδιορίζοντας το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια λιγότερο διαισθητική, αλλά με καλύτερη "συμπεριφορά", συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων. Η ιδέα είναι να μετρήσουμε τους πρώτους (ή ένα αντίστοιχο σύνολο όπως το σύνολο των δυνάμεων πρώτων) με βάρη που να οδηγούν σε μια συνάρτηση με ομαλότερη ασυμπτωτική συμπεριφορά. Η πιο συνήθης συνάρτηση είναι η συνάρτηση Τσεμπισιόφ ${\displaystyle \psi (x)}$, που ορίζεται ως εξής: ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x, \atop p\,{\text{prime}}}\log p.}$

Η συνάρτηση αυτή γράφεται κάποιες φορές ως

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$,

όπου ${\displaystyle \Lambda (n)}$ είναι η συνάρτηση von Mangoldt, που ορίζεται ως

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ για κάποιον πρώτο }}p{\text{ και ακέραιο }}k\geq 1,\\0&{\text{διαφορετικά.}}\end{cases}}}$

Τώρα είναι σχετικά εύκολο να ελέγξουμε ότι το Θ.Π.Α είναι ισοδύναμο με το να ισχυριστούμε ότι ${\textstyle \lim _{x\to \infty }\psi (x)/x=1}$. Όντως , προκύπτει εύκολα ότι

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{p\leq x}\log x=\pi (x)\log x}$,

και (χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Ο) για κάθε ${\displaystyle \epsilon >0}$,

${\displaystyle \psi (x)\geq \sum _{x^{1-\epsilon }\leq p\leq x}\log p\geq \sum _{x^{1-\epsilon }\leq p\leq x}(1-\epsilon )\log x=(1-\epsilon )(\pi (x)+O(x^{1-\epsilon }))\log x}$.

Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε μια χρήσιμη παράσταση για την ${\displaystyle \psi (x)}$. Ας είναι ${\displaystyle \zeta (s)}$ η συνάρτηση ζ του Ρίμαν. Μπορούμε να δείξουμε ότι η ${\displaystyle \zeta (s)}$ σχετίζεται με τη συνάρτηση von Mangoldt ${\displaystyle \Lambda (n)}$, και συνεπώς με την ${\displaystyle \psi (x)}$, μέσω της σχέσης

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}}$.

Μία κομψή ανάλυση της παραπάνω εξίσωσης και των σχετικών ιδιοτήτων της συνάρτησης ζ, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Mellin και τον τύπο του Περρόν δείχνει ότι για μη-ακέραιο ${\displaystyle x}$ ισχύει η εξίσωση

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )}$,

όπου το άθροισμα είναι σε όλες τις ρίζες (τετριμμένες και μη) της συνάρτησης ζ. Αυτός ο τύπος είναι ένας από τους γενικούς τύπους της θεωρίας αριθμών και υποδεικνύει ήδη το αποτέλεσμα το οποίο θέλουμε να αποδείξουμε, από τη στιγμή που ο όρος x εμφανίζεται στα δεξιά ακολουθούμενος από χαμηλότερης τάξης ασυμπτωτικούς όρους.

Το επόμενο βήμα της απόδειξης προϋποθέτει τη μελέτη των μηδενικών της συνάρτησης ζ.Τα τετριμμένα μηδενικά −2, −4, −6, −8, ... μπορούν να μελετηθούν ξεχωριστά:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

που εξαφανίζεται για μεγάλα x. Τα μη τετριμμένα μηδενικά , δηλαδή αυτά που βρίσκονται στην κρίσιμη ζώνη ${\displaystyle 0\leq \Re (s)\leq 1}$, μπορούν δυνητικά να είναι ασυμπτωτικής τάξης σε σχέση με τον βασικό όρο x αν ${\displaystyle \Re (\rho )=1}$, επομένως πρέπει να δείξουμε ότι όλα τα μηδενικά έχουν πραγματικό μέρος αυστηρά μικρότερο του 1.

Για να το κάνουμε αυτό, θεωρούμε δεδομένο ότι η ${\displaystyle \zeta (s)}$ είναι μερομορφική στο ημι-επίπεδο ${\displaystyle \Re (s)>0}$, και αναλυτική εκεί εκτός από έναν απλό πόλο στο ${\displaystyle s=1}$, και ότι μπορεί να εκφραστεί με τον εξής τύπο

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}}$

για ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Αυτό το γινόμενο ακολουθείται από την ύπαρξη μοναδικής παραγοντοποίησης πρώτων παραγόντων των ακεραίων και δείχνει ότι η ${\displaystyle \zeta (s)}$ δεν είναι ποτέ μηδέν σε αυτήν την περιοχή, έτσι ώστε ο λογάριθμος να ορίζεται εκεί και

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log(1-p^{-s})=\sum _{p,n}p^{-ns}/n.}$

Θέτουμε ${\displaystyle s=x+iy}$ και έπειτα ${\textstyle |\zeta (x+iy)|=\exp(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}).}$Παρατηρούμε τώρα την ταυτότητα ${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0,}$ έτσι ώστε

${\displaystyle |\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$για κάθε ${\displaystyle x>1}$.

Υποθέτουμε τώρα ότι ${\displaystyle \zeta (1+iy)=0}$. Φυσικά ${\displaystyle y}$ είναι μη μηδενικό αφού η ${\displaystyle \zeta (s)}$ έχει έναν απλό πόλο στο ${\displaystyle s=1}$.

Έστω ότι ${\displaystyle x>1}$ και ας αφήσουμε το ${\displaystyle x}$ να τείνει στο ${\displaystyle 1}$ από πάνω.

Αφού η ${\displaystyle \zeta (s)}$ έχει απλό πόλο στο ${\displaystyle s=1}$ και ${\displaystyle \zeta (x+2iy)}$ παραμένει αναλυτική, το αριστερό μέρος της προηγούμενης ανισότητας τείνει στο ${\displaystyle 0}$ και έχουμε αντίφαση.

Τέλος, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το Θ.Π.Α είναι "ηθικά"¨σωστό. Για να ολοκληρώσουμε αυστηρά την απόδειξη υπάρχουν ακόμα μερικές σοβαρές τεχνικές δυσκολίες που πρέπει να ξεπεραστούν εξαιτίας του ότι το άθροισμα πάνω από τα μηδενικά της ζήτα στον γενικό τύπο της ${\displaystyle \psi (x)}$ δεν συγκλίνει απόλυτα αλλά μόνο υπό συνθήκη. Υπάρχουν μερικοί τρόποι επίλυσης γύρω από αυτό το πρόβλημα αλλά πολλοί από αυτούς προϋποθέτουν πιο κομψές μιγαδικά αναλυτικές προσεγγίσεις που είναι πέρα από το φάσμα αυτού του άρθρου. Το βιβλίο του Edwards^[10] παρέχει τις λεπτομέρειες. Μια άλλη μέθοδος είναι να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα Ikehara , αν και αυτό το θεώρημα είναι αρκετά δύσκολο από μόνο του να αποδειχθεί.

Ο D.J.Newman παρατήρησε ότι η πλήρης "δύναμη" του θεωρήματος του Ikehara δεν είναι αναγκαία για το Θεώρημα Πρώτων Αριθμών και κάποιος μπορεί απλά να χρησιμοποιήσει μία ειδική περίπτωση του που είναι ευκολότερο να αποδειχθεί.

Η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων σαν όροι λογαριθμικού ολοκληρώματος

Σε ένα χειρόγραφο σημείωμα σε μια ανατύπωση της εργασίας του του 1838 με τίτλο Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres (Σχετικά με την χρήση απείρων σειρών στην θεωρία αριθμών), την οποία ταχυδρόμησε στον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ είκασε ότι μια καλύτερη προσέγγιση του π(x) δίνεται από την ολοκληρωτική λογαριθμική συνάρτηση Li(x) , που ορίζεται ως:

${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\log t}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (2).}$

Όντως το ολοκλήρωμα αυτό υποδεικνύει ότι η πυκνότητα των πρώτων αριθμών γύρω από το ${\displaystyle t}$ πρέπει να είναι ${\displaystyle 1/\log t}$. Αυτή η συνάρτηση σχετίζεται με τον λογάριθμο μέσω του ασυμπτωτικού αναπτύγματος ${\displaystyle \mathrm {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots .}$

Άρα, το Θ.Π.Α. μπορεί αλλιώς να γραφεί ως π(x)~Li(x).

Σε μια άλλη εργασία, το 1899, ο Λα Βαλε Πουσσεν απέδειξε ότι

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)}$για ${\displaystyle x\to \infty }$

για κάποια θετική σταθερά ${\displaystyle a}$, και η βελτιωμένη μορφή του είναι

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

Λόγω της σύνδεσης μεταξύ της συνάρτησης ζ και της π(x), η υπόθεση του Ρίμαν έχει μεγάλη σημαντικότητα στην θεωρία αριθμών: αν αποδειχθεί αληθής, θα προκύψει μια πολύ καλύτερη προσέγγιση του σφάλματος που εμπλέκεται στο θεώρημα πρώτων αριθμών από αυτήν που υπάρχει σήμερα. Πιο συγκεκριμένα, ο Χέλγκε φον Κοχ έδειξε το 1901^[11] ότι, αν και μόνο αν η υπόθεση του Ρίμαν είναι αληθής, ο όρος σφάλματος στην παραπάνω σχέση μπορεί να πάρει τη βελτιωμένη μορφή ${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right).}$

Η σταθερά που περιέχεται στον συμβολισμό Ο προσεγγίστηκε το 1976 από τον Λόουελ Σένφιλντ^[12]: υποθέτουμε από την υπόθεση Ρίμαν οτι

${\displaystyle |\pi (x)-{\rm {li}}(x)|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\log x}{8\pi }}}$ για όλα τα ${\displaystyle x\geq 2657}$.

Επίσης εξήγαγε ένα παρόμοιο φράγμα για τη συνάρτηση Τσεμπισιόφ ψ

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\log ^{2}x}{8\pi }}}$ για όλα τα x ≥ 73.2.

Αυτό το τελευταίο φράγμα εκφράζει μια διακύμανση στον μέσο νόμο της δύναμης (όταν θεωρηθεί ως τυχαία συνάρτηση πάνω από τους ακεραίους), στο 1/f θόρυβο και αντιστοιχεί στην Τουίντι σύνθετη κατανομή Πουασόν^[13]. Παρενθετικά, οι κατανομές Τουίντι παρουσιάζουν μια οικογένεια κλιμακωτά αμετάβλητων κατανομών που εξυπηρετούν ως εστίες σύγκλισης για μια γενίκευση του κεντρικού οριακού θεωρήματος^[14].

Το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Li(x) είναι μεγαλύτερο από την π(x) για "μικρά" x. Αυτό συμβαίνει επειδή είναι καταμέτρηση όχι πρώτων αλλά δυνάμεων πρώτων, όπου η δύναμη pⁿ

ενός πρώτου μετράται ως 1/n ενός πρώτου. Αυτό υποδεικνύει ότι η Li(x) πρέπει συνήθως να είναι μεγαλύτερη από το π(x) κατά σχεδόν Li(x^1/2)/2, γενικά όμως μεγαλύτερη από την π(x). Όμως το 1914, ο Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ, απέδειξε ότι αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Η πρώτη τιμή του x για να είναι η π(x) μεγαλύτερη της Li(x) είναι κοντά στην τιμή x = 10^316.

Στοιχειώδεις αποδείξεις

Στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα, κάποιοι μαθηματικοί (κυρίως ο Γκόντφρει Χάρολντ Χάρντι) πίστευαν ότι υπάρχει ιεραρχία στις αποδεικτικές μεθόδους των μαθηματικών, η οποία εξαρτάται από το είδος των αριθμών (ακέραιοι, πραγματικοί,μιγαδικοί) που απαιτεί η απόδειξη και ότι το θεώρημα πρώτων αριθμών είναι ένα "βαθύ" θεώρημα λόγω της ανάγκης χρήσης μιγαδικής ανάλυσης.

Αυτό το πιστεύω κλονίστηκε λίγο από μία απόδειξη του βασισμένη στο ταουμπεριανό θεώρημα του Βίνερ, ωστόσο αυτό μπορεί να αγνοηθεί αν το θεώρημα του Βίνερ κρινόταν ότι έχει βάθος αντίστοιχο με αυτό της μεθόδου μιγαδικών μεταβλητών.

Δεν υπάρχει αυστηρός και ευρέως αποδεκτός ορισμός για την έννοια της στοιχειώδους απόδειξης στη θεωρία αριθμών.Ένας ορισμός είναι "μια απόδειξη η οποία μπορεί να εκτελεστεί στην πρωτοτάξια αριθμητική του Πεάνο." Υπάρχουν θεωρήματα της θεωρίας αριθμών (παράδειγμα το θεώρημα Παρις-Χάρινγκτον) που μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας δευτεροτάξιες αλλά όχι πρωτοτάξιες μεθόδους, αλλά τέτοια θεωρήματα σπανίζουν έως και σήμερα.

Τον Μάρτιο του 1948, ο Ατλ Σέλμπεργκ καθιέρωσε, με στοιχειώδη μέσα να αποδείξει τον ασυμπτωτικό τύπο

${\displaystyle \vartheta \left(x\right)\log \left(x\right)+\sum \limits _{p\leq x}{\log \left(p\right)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log \left(x\right)+O\left(x\right)}$,

όπου ${\textstyle \vartheta \left(x\right)=\sum \limits _{p\leq x}{\log \left(p\right)}}$ για πρώτους p.^[15]

Έως τον Ιούλιο της ίδιας χρονιάς, Σέλμπεργκ και Πωλ Έρντος είχαν ο καθένας ξεχωριστά μια στοιχειώδη απόδειξη του Θ.Π.Α, χρησιμοποιώντας και οι δύο τον ασυμπτωτικό τύπο του Σέλμπεργκ ως αρχικό σημείο.^[16][17] Αυτές οι αποδείξεις οδήγησαν αποτελεσματικά στην αποδοχή του ότι το Θ.Π.Α ήταν "βαθύ" και έδειξαν ότι τεχνικώς στοιχειώδεις μέθοδοι (με άλλα λόγια η αριθμητική του Πεάνο) ήταν πιο ισχυρές από ότι πίστευαν.

Το 1994, οι Χαράλαμπος Κορνάρος και Κώστας Δημητρακόπουλος απέδειξαν το Θ.Π.Α. χρησιμοποιώντας μόνο ${\displaystyle I\Delta _{0}+\exp }$,^[18] ένα τυπικό σύστημα πιο αδύναμο από την αριθμητική του Πεάνο. Για την ιστορία των στοιχειωδών αποδείξεων του Θ.Π.Α, συμπεριλαμβανομένης των Έρντος-Σέλμπεργκ, δείτε το άρθρο του Ντόριαν Γκόλντφελντ^[16].

Επαλήθευση μέσω Υπολογιστών

Το 2005, ο Avigad κ.α, έβαλαν τον αποδεικτή θεωρημάτων Ιζαμπελ να σχεδιάσει μια υπολογιστικώς επαληθευμένη παραλλαγή της απόδειξης Έρντος-Σελμπεργκ για το Θ.Π.Α.^[19] Αυτή ήταν η πρώτη μηχανικά επαληθευμένη απόδειξη του Θ.Π.Α. Ο Avigad επέλεξε να τυποποιήσει την απόδειξη των Έρντος-Σελμπεργκ αντί μιας αναλυτικής απόδειξης επειδή ενώ η βιβλιοθήκη Ιζαμπελ μπορούσε να αναγνωρίσει έννοιες όπως όριο, παράγωγος και άλλες συναρτήσεις, δεν περιείχε καθόλου θεωρία ολοκλήρωσης να αναφέρει (Avigad et al.p. 19).

Το 2009 ο Τζον Χάρισον χρησιμοποίησε τον HOL Light για να τυποποιήσει την απόδειξη μέσω μιγαδικής ανάλυσης^[20]. Αναπτύσσοντας τις κατάλληλες αναλυτικές μηχανές , συμπεριλαμβανομένου του ολοκληρωτικού τύπου του Κωσύ, ήταν δυνατόν ο Χάρισον να τυποποιήσει "μια άμεση, μοντέρνα και κομψή απόδειξη αντί για έναν περίπλοκο 'στοιχειώδη' διαπληκτισμό των Έρντος-Σελμπεργκ".

Το θεώρημα πρώτων αριθμών για αριθμητικές προόδους

Έστω ότι ${\displaystyle \pi _{n,a}(x)}$ δηλώνει το πλήθος των πρώτων αριθμών στην αριθμητική πρόοδο a, a + n, a + 2n, a + 3n, ... που είναι μικρότεροι από το x. Ο Ντίριχλετ και ο Λεζάντρ έκαναν την εικασία, και ο Βαλε-Πουσέν απέδειξε, ότι, αν ${\displaystyle a}$ και ${\displaystyle n}$ είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους τότε

${\displaystyle \pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x)}$,

όπου ${\displaystyle \varphi }$ είναι η συνάρτηση Όιλερ. Με άλλα λόγια , οι πρώτοι είναι κατανεμημένοι ομοιόμορφα μεταξύ των κλάσεων υπολοίπων ${\displaystyle [a]}$ με υπόλοιπο ${\displaystyle n}$ όταν ${\displaystyle \mathrm {MK\Delta } (a,n)=1}$. Αυτό είναι ισχυρότερο από το θεώρημα του Ντίριχλετ για τις αριθμητικές προόδους (το οποίο απλώς αναφέρει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι σε κάθε κλάση) και μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας όμοιες μεθόδους με αυτές που χρησιμοποίησε ο Νιούμαν στην απόδειξη του για το θεώρημα πρώτων αριθμών.^[21]

Το θεώρημα Ζίγκελ-Βάλφιτζ δίνει μία καλή προσέγγιση για την κατανομή πρώτων στις κλάσεις υπολοίπων.

Κούρσα Πρώτων Αριθμών

Αν και έχουμε λεπτομερώς ότι ${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x),\,}$ εμπειρικά, οι πρώτοι που συγκλίνουν στο 3 είναι περισσότεροι και είναι σχεδόν πάντα πιο μπροστά στην "κούρσα", με την πρώτη αντιστροφή να γίνεται στο x = 26,861^[22]. Όμως ο Λίτλγουντ έδειξε το 1914^[22] ότι υπάρχουν απείρως πολλές εναλλαγές προσήμου για τη συνάρτηση ${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x),\,}$ και άρα η πρωτιά στην "κούρσα" εναλλάσσεται συνεχώς άπειρες φορές. Το φαινόμενο όπου το π_4,3(x) είναι μπροστά τις περισσότερες φορές ονομάζεται κλίση του Τσεμπισιόφ. Η "κούρσα" πρώτων αριθμών γενικεύεται και σε άλλα modulo και είναι αντικείμενο έρευνας. Ο Παλ Τουράν ερωτήθηκε αν συμβαίνει πάντα π(x;a,c) και π(x;b,c) να αλλάζουν θέση όταν a και b είναι πρώτοι με το c^[23]. Οι Granville και Martin δίνουν μια πλήρη έκθεση και έρευνα.^[22]

Φράγματα στη συνάρτηση καταμέτρησης των πρώτων αριθμών.

Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι ένα ασυμπτωτικό αποτέλεσμα. Δίνει έναν αναποτελεσματικό περιορισμό στην π(x) ως άμεση συνέπεια του ορισμού του ορίου: Για όλα τα ε > 0, υπάρχει μια S τέτοια ώστε για όλα τα x > S,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}.}$

Ωστόσο, καλύτερα φράγματα για τπ(x) είναι γνωστά, για παράδειγμα του Pierre Dusart

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right).}$

Η πρώτη ανισότητα ισχύει για κάθε x ≥ 599 και η δεύτερη για x ≥ 355991.^[24]

Ένα ασθενέστερο αλλά μερικές φορές χρήσιμο φράγμα για x ≥ 55 είναι:

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-4}}}$.^[25]

Στην διατριβή του Pierre Dusart, υπάρχουν ισχυρότερες εκδοχές αυτού του τύπου των ανισοτήτων που ισχύουν για μεγαλύτερα x. Αργότερα, το 2010, ο Dusart απόδειξε:

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)}$ for ${\displaystyle x\geq 5393}$, και ${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}}$ for ${\displaystyle x\geq 60184}$.^[26]

Η απόδειξη μέσω του ντε λα Βαλέ-Πουσέν οδηγεί στο εξής συμπέρασμα: Για κάθε ${\displaystyle \epsilon >0}$, υπάρχει ${\displaystyle S}$ τέτοιο ώστε για όλα τα ${\displaystyle x>S}$, ισχύει ότι

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}.}$

Προσεγγίσεις για το νιοστό πρώτο αριθμό

Ως συνέπεια του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, παίρνουμε μια ασυμπτωτική έκφραση για τον νιοστό πρώτο αριθμό, που συμβολίζεται με ${\displaystyle p_{n}}$:

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$

Μια καλύτερη προσέγγιση είναι

${\displaystyle {{\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}}$^[27]

Και πάλι θεωρώντας το 200 · 1015 πρώτο αριθμό 8512677386048191063, αυτό δίνει ως εκτίμηση την τιμή 8512681315554715386. Τα πρώτα 5 ψηφία ταιριάζουν και το σχετικό σφάλμα είναι περίπου 0,00005%.

Το θεώρημα του Rosser δηλώνει ότι το ${\displaystyle p_{n}}$ είναι μεγαλύτερο από το ${\displaystyle n\log(n)}$.Αυτό μπορεί να βελτιωθεί με το ακόλουθο ζεύγος φραγμάτων:^[28][29]

${\displaystyle \log n+\log \log n-1<{\frac {p_{n}}{n}}<\log n+\log \log n\quad }$για ${\displaystyle n\geq 6}$.

Πίνακας των π(x), x/log(x) και li(x)

Ο παρακάτω πίνακας συγκρίνει τις ακριβείς τιμές του ${\displaystyle \pi (x)}$ με τις δύο προσεγγίσεις ${\displaystyle x/\log x}$ και ${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$. Η τελευταία στήλη, ${\displaystyle x/\pi (x)}$, είναι η μέση "πρώτη διαφορά" για το ${\displaystyle x}$.

x	π(x)	π(x) − x / log x	π(x) / (x / log x)	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
10^2	25	3.3	1.151	5.1	4.000
10^3	168	23	1.161	10	5.952
10^4	1,229	143	1.132	17	8.137
10^5	9,592	906	1.104	38	10.425
10^6	78,498	6,116	1.084	130	12.740
10^7	664,579	44,158	1.071	339	15.047
10^8	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
10^9	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
10^10	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
10^11	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
10^12	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
10^13	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
10^14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
10^15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
10^16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
10^17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
10^18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
10^19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
10^20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
10^21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
10^22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
10^23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
10^24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,278	54.243
10^25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	1.018	55,160,980,939	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

Η τιμή π(10²⁴) υπολογίστηκε αρχικά υποθέτοντας ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής.^[30] Έκτοτε έχει επαληθευτεί άνευ όρων.^[31]

Ανάλογo Θεώρημα για τα ανάγωγα πολυώνυμα πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα

Υπάρχει ένα ανάλογο του θεωρήματος των πρώτων αριθμών που περιγράφει την «κατανομή» των ανάγωγων πολυωνύμων πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα· η μορφή που παίρνει είναι εντυπωσιακά παρόμοια με την περίπτωση του κλασσικού θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ${\displaystyle F=\mathrm {GF} (q)}$ το πεπερασμένο σώμα με ${\displaystyle q}$ στοιχεία, για κάποιο δεδομένο ${\displaystyle q}$, και έστω ${\displaystyle N_{n}}$ ο αριθμός των μονικών ανάγωγων πολυωνύμων στο ${\displaystyle F}$ των οποίων ο βαθμός είναι ίσος με ${\displaystyle n}$. Δηλαδή, ψάχνουμε πολυώνυμα με συντελεστές από το ${\displaystyle F}$, τα οποία δεν μπορούν να γραφτούν ως γινόμενα πολυωνύμων μικρότερου βαθμού. Σε αυτή την περίπτωση, τα εν λόγω πολυώνυμα παίζουν το ρόλο των πρώτων αριθμών, αφού όλα τα άλλα μόνικα πολυώνυμα έχουν δημιουργηθεί από γινόμενα μεταξύ τους. Μπορούμε τότε να αποδείξουμε ότι:

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Αν κάνουμε την αντικατάσταση x = qⁿ , τότε η δεξιά πλευρά είναι απλά

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

γεγονός που καθιστά την αναλογία σαφέστερη. Δεδομένου ότι υπάρχουν ακριβώς qⁿ μονικά πολυώνυμα βαθμού ${\displaystyle n}$ (συμπεριλαμβανομένων των αναγώγιμων), αυτό μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής : αν επιλεγεί τυχαία ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού ${\displaystyle n}$, τότε η πιθανότητα να είναι ανάγωγο είναι περίπου ${\displaystyle 1/n}$.

Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ένα ανάλογο της υπόθεσης Ρίμαν, δηλαδή ότι

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{n/2}}{n}}\right).}$

Οι αποδείξεις από αυτές τις περιπτώσεις είναι πολύ πιο απλές από ότι στην κλασική περίπτωση. Εμπεριέχουν ένα σύντομο συνδυαστικό επιχείρημα,^[32] που συνοψίζεται ως εξής: Κάθε στοιχείο της επέκτασης βαθμού ${\displaystyle n}$ του ${\displaystyle F}$ είναι μια ρίζα κάποιου ανάγωγου πολυωνύμου του οποίου ο βαθμός ${\displaystyle d}$ διαιρεί το ${\displaystyle n}$· μετρώντας αυτές τις ρίζες με δύο διαφορετικούς τρόπους διαπιστώνουμε ότι

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

όπου το άθροισμα είναι πάνω από όλους τους διαιρέτες ${\displaystyle d}$ του ${\displaystyle n}$. Η αντιστροφή του Μέμπιους δίνει ότι:

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)q^{d},}$

όπου ${\displaystyle \mu (k)}$ είναι η συνάρτηση Μέμπιους. (Ο τύπος αυτός ήταν ήδη γνωστός στον Γκάους). Ο κύριος όρος εμφανίζεται για ${\displaystyle d=n}$, και δεν είναι δύσκολο να φράξει τους υπόλοιπους όρους. Η "υπόθεση του Ρίμαν" εξαρτάται από το γεγονός ότι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του ${\displaystyle n}$ δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το ${\displaystyle n/2}$.

Δείτε επίσης

• Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής

Παραπομπές

1. Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. σελ. 227. ISBN 0786884061. 
2. Prime, Curios! (9 Οκτωβρίου 2011). Prime Curios!: 8512677386048191063. at Martin: University of Tennessee. 
3. Gauss, C.F. Werke , Bd 2 , 1st ed. Göttingen , 1863. σελ. 444-447. 
4. Pereira, N. Costa (1985-01-01). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». The American Mathematical Monthly 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. http://www.jstor.org/stable/2322510. 
5. Nair, M. (1982-01-01). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». The American Mathematical Monthly 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. http://www.jstor.org/stable/2320934. 
6. Ingham, A.E. (1990). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. σελ. 2-5. ISBN 0-521-39789-8. 
7. Newman, D. J. (1980-01-01). «Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem». The American Mathematical Monthly 87 (9): 693–696. doi:10.2307/2321853.
   MR 0602825
   . http://www.jstor.org/stable/2321853. 
8. Zagier, D. (1997-01-01). «Newman's Short Proof of the Prime Number Theorem». The American Mathematical Monthly 104 (8): 705–708. doi:10.2307/2975232.
   MR 1476753
   . http://www.jstor.org/stable/2975232. 
9. Βίντεο και διαφάνειες από τη διάλεξη του Τάο για τους πρώτους αριθμούς, UCLA, Ιανουάριος 2007
10. Harold M., Edwards (2001). Riemann's zeta function. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-41740-9. 
11. Koch, Helge von (1901-01-01). «Sur la distribution des nombres premiers» (στα γαλλικά). Acta Mathematica 24 (1): 159–182. doi:10.1007/BF02403071. ISSN 0001-5962. http://link.springer.com/article/10.1007/BF02403071. 
12. Schoenfeld, Lowell (1976-01-01). «Sharper Bounds for the Chebyshev Functions $\theta(x)$ and $\psi(x)$. II». Mathematics of Computation 30 (134): 337–360. doi:10.2307/2005976. http://www.jstor.org/stable/2005976. 
13. Kendal, WS (2013). «Fluctuation scaling and 1/f noise: shared origins from the Tweedie family of statistical distributions». J Basic Appl Phys Volume 2. 
14. Jørgensen, Bent; Martínez, José Raúl; Tsao, Min (1994-01-01). «Asymptotic Behaviour of the Variance Function». Scandinavian Journal of Statistics 21 (3): 223–243. http://www.jstor.org/stable/4616314. 
15. Selberg, Atle (1949-01-01). «An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem». Annals of Mathematics 50 (2): 305–313. doi:10.2307/1969455. http://www.jstor.org/stable/1969455. 
16. Goldfeld, D. (1 Ιανουαρίου 2004). Chudnovsky, David, επιμ. The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective. Springer New York. σελίδες 179–192. ISBN 9781461264903. 
17. Baas, Nils; Skau, Christian (2008-01-01). «The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics». Bulletin of the American Mathematical Society 45 (4): 617–649. doi:10.1090/S0273-0979-08-01223-8. ISSN 0273-0979. http://www.ams.org/bull/2008-45-04/S0273-0979-08-01223-8/. 
18. Cornaros, C.; Dimitracopoulos, C. (1994-08-01). «The prime number theorem and fragments ofP A» (στα αγγλικά). Archive for Mathematical Logic 33 (4): 265–281. doi:10.1007/BF01270626. ISSN 0933-5846. http://link.springer.com/article/10.1007/BF01270626. 
19. Avigad, Jeremy; Donnelly, Kevin; Gray, David; Raff, Paul (2007-12-01). «A Formally Verified Proof of the Prime Number Theorem». ACM Trans. Comput. Logic 9 (1). doi:10.1145/1297658.1297660. ISSN 1529-3785. http://doi.acm.org/10.1145/1297658.1297660. 
20. Harrison, John (2009-08-19). «Formalizing an Analytic Proof of the Prime Number Theorem» (στα αγγλικά). Journal of Automated Reasoning 43 (3): 243–261. doi:10.1007/s10817-009-9145-6. ISSN 0168-7433. http://link.springer.com/article/10.1007/s10817-009-9145-6. 
21. Soprounov, Ivan (1998). A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2016-11-09. https://web.archive.org/web/20161109070841/http://academic.csuohio.edu/soprunov_i/pdf/primes.pdf. 
22. Granville, Andrew; Martin, Greg (2006-01-01). «Prime Number Races». The American Mathematical Monthly 113 (1): 1–33. doi:10.2307/27641834. http://www.jstor.org/stable/27641834. 
23. Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory. Springer-Verlag. σελ. https://zbmath.org/?format=complete&q=an:1058.11001. ISBN 978-0-387-20860-2. 
24. Pierre, Dusart (1998). «Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers». France. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 Μαΐου 2016. 
25. Rosser, Barkley (1941-01-01). «Explicit Bounds for Some Functions of Prime Numbers». American Journal of Mathematics 63 (1): 211–232. doi:10.2307/2371291.
    MR 0003018
    . http://www.jstor.org/stable/2371291. 
26. Dusart, Pierre (22 Απριλίου 2014). Estimates of Some Functions Over Primes without R.H. (PDF). 
27. Cesàro, Ernesto (1894). Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. French. σελ. "Sur une formule empirique de M. Pervouchine". 
28. Bach Eric, Shallit, Jefrey (1996). Algorithmic Number Theory. Cambridge: MIT. ISBN 0-262-02405-5. MR 1406794. 
29. Dusart, Pierre (1999-01-01). «The 𝑘^{𝑡ℎ} prime is greater than 𝑘(ln𝑘+lnln𝑘-1) for 𝑘≥2». Mathematics of Computation of the American Mathematical Society 68 (225): 411–415. doi:10.1090/S0025-5718-99-01037-6. ISSN 0025-5718.
    MR 1620223
    . http://www.ams.org/mcom/1999-68-225/S0025-5718-99-01037-6/. 
30. Caldwell, Chris K. (3 Αυγούστου 2010). «"Conditional Calculation of pi(1024)"». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 25 Σεπτεμβρίου 2014. 
31. Platt, David (2015-01-01). «Computing 𝜋(𝑥) analytically». Mathematics of Computation 84 (293): 1521–1535. doi:10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. ISSN 0025-5718.
    MR 3315519
    . http://www.ams.org/mcom/2015-84-293/S0025-5718-2014-02884-6/. 
32. Chebolu, Sunil K.; Miná?, Ján (2011-01-01). «Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle». Mathematics Magazine 84 (5): 369–371. doi:10.4169/math.mag.84.5.369. http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.84.5.369. 

Αναφορές

• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). «Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes». Acta Mathematica 41: 119–196. doi:10.1007/BF02422942. 

•Granville, Andrew (1995). «Harald Cramér and the distribution of prime numbers». Scandinavian Actuarial Journal 1: 12–28. doi:10.1080/03461238.1995.10413946. http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Distribution of prime numbers», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/d033530 
• Table of Primes by Anton Felkel.
• Short video visualizing the Prime Number Theorem.
• Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
• How Many Primes Are There?Αρχειοθετήθηκε 2012-10-15 στο Wayback Machine. and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
• Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva