Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών

Το pons asinorum δηλαδή το "Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών" στην έκδοση των Στοιχείων του Όλιβερ Μπερν.^[1]

Στη γεωμετρία, το θεώρημα ότι οι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι οι ίδιες ίσες καλείται pons asinorum, που στα λατινικά σημαίνει «γέφυρα των γαϊδουριών», ή πιο περιγραφικά ως θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου. Το θεώρημα εμφανίζεται ως Πρόταση 5 του Βιβλίου 1 Στοιχεία του Ευκλείδη^[1]. Ισχύει και το αντίστροφο: αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε οι πλευρές που βρίσκονται απέναντί τους είναι επίσης ίσες.

Ευκλείδη Στοιχεία -Βιβλίο 1 -5^[2]

Α'- ε' - Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ τρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.

1-5 Στα ισοσκελή τρίγωνα οι παρά τη βάση γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και αν προεκταθούν οι ίσες πλευρές σχηματίζουν κάτω από τη βάση (με τη βάση) γωνίες ίσες.

Το Pons asinorum ή (γέφυρα των γαϊδουριών) χρησιμοποιείται επίσης μεταφορικά για ένα πρόβλημα ή μια πρόκληση που λειτουργεί ως δοκιμασία της κριτικής σκέψης, αναφερόμενο στην ικανότητα της «γέφυρας γαϊδουριών» να διαχωρίζει τους ικανούς από τους ανίκανους να σκεφτούν. Η πρώτη γνωστή χρήση του σε αυτό το πλαίσιο χρονολογείται από το 1645^[3].

Ετυμολογία

Υπάρχουν δύο κοινές εξηγήσεις για την ονομασία pons asinorum (γέφυρα των γαϊδουριών), η απλούστερη είναι ότι το διάγραμμα που χρησιμοποιείται μοιάζει με μια φυσική γέφυρα. Αλλά η πιο δημοφιλής εξήγηση είναι ότι αποτελεί την πρώτη πραγματική δοκιμασία στα Στοιχεία για τη νοημοσύνη του αναγνώστη και λειτουργεί ως «γέφυρα» για τις δυσκολότερες προτάσεις που ακολουθούν ^[4].

Ένας άλλος μεσαιωνικός όρος για το θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου ήταν Elefuga, ο οποίος, σύμφωνα με τον Ρότζερ Μπέικον, προέρχεται από το ελληνικό ἐλεγεία «δυστυχία» και το λατινικό fuga «φυγή», δηλαδή «φυγή των δυστυχισμένων». Αν και η ετυμολογία αυτή είναι αμφίβολη, απηχείται στη χρήση του όρου «flemyng of wreches» από τον Σώσερ για το θεώρημα^[5].

Το όνομα Dulcarnon δόθηκε στην 47η πρόταση του βιβλίου 1 του Ευκλείδη, γνωστότερη ως Πυθαγόρειο θεώρημα, από το αραβικό Dhū 'l qarnain^[6] ذُو ٱلْقَرْنَيْن, που σημαίνει «ο κάτοχος των δύο κεράτων», επειδή τα διαγράμματα του θεωρήματος έδειχναν δύο μικρότερα τετράγωνα σαν κέρατα στην κορυφή του σχήματος. Ο όρος αυτός έχει ομοίως χρησιμοποιηθεί ως μεταφορά για ένα δίλημμα.^[5] Το ίδιο το όνομα pons asinorum (γέφυρα των γαϊδουριών) έχει κατά καιρούς εφαρμοστεί στο Πυθαγόρειο θεώρημα ^[7].

Υποτίθεται ότι ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους πρότεινε κάποτε ότι η κατανόηση της ταυτότητας του Όιλερ θα μπορούσε να παίξει έναν παρόμοιο ρόλο, ως μέτρο σύγκρισης που δείχνει αν κάποιος μπορεί να γίνει μαθηματικός πρώτης τάξεως^[8].

Αποδείξεις

Ευκλείδης και Πρόκλος

Απόδειξη του Πρόκλου

'Στοιχεία I.5, το pons asinorum (γέφυρα των γαϊδουριών)

Η δήλωση του Ευκλείδη για το pons asinorum (γέφυρα των γαϊδουριών) περιλαμβάνει ένα δεύτερο συμπέρασμα ότι αν οι ίσες πλευρές του τριγώνου επεκτείνονται κάτω από τη βάση, τότε οι γωνίες μεταξύ των επεκτάσεων και της βάσης είναι επίσης ίσες. Η απόδειξη του Ευκλείδη περιλαμβάνει τη χάραξη βοηθητικών γραμμών σε αυτές τις προεκτάσεις. Όμως, όπως επισημαίνει ο σχολιαστής του Ευκλείδη, ο Πρόκλος, ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί ποτέ το δεύτερο συμπέρασμα και η απόδειξή του μπορεί να απλοποιηθεί κάπως με το να σχεδιάσει τις βοηθητικές γραμμές στις πλευρές του τριγώνου, ενώ η υπόλοιπη απόδειξη εξελίσσεται περίπου με τον ίδιο τρόπο.

Υπήρξαν πολλές εικασίες και συζητήσεις σχετικά με το γιατί ο Ευκλείδης πρόσθεσε το δεύτερο συμπέρασμα στο θεώρημα, δεδομένου ότι καθιστά την απόδειξη πιο περίπλοκη. Μια εύλογη εξήγηση, που δόθηκε από τον Πρόκλο, είναι ότι το δεύτερο συμπέρασμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πιθανές αντιρρήσεις στις αποδείξεις μεταγενέστερων προτάσεων, όπου ο Ευκλείδης δεν καλύπτει κάθε περίπτωση.^[9] Η απόδειξη στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό σε αυτό που σήμερα ονομάζεται πλευρική γωνία-πλευρά (SAS), την προηγούμενη πρόταση στα Στοιχεία, η οποία λέει ότι δοθέντων δύο τριγώνων για τα οποία δύο ζεύγη αντίστοιχων πλευρών και οι περιεχόμενες γωνίες τους είναι αντίστοιχα σύμφωνες, τότε τα τρίγωνα είναι σύμμορφα.

Η παραλλαγή του Πρόκλου στην απόδειξη του Ευκλείδη έχει ως εξής:^[10] Έστω ${\displaystyle \triangle ABC}$ ένα ισοσκελές τρίγωνο με σύμφωνες πλευρές ${\displaystyle AB\cong AC}$. Διαλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο ${\displaystyle D}$ κατά μήκος της πλευράς ${\displaystyle AB}$ και στη συνέχεια κατασκευάζουμε το σημείο ${\displaystyle E}$ πάνω στο ${\displaystyle AC}$ για να φτιάξουμε τα συγγραμμικά τμήματα ${\displaystyle AD\cong AE}$. Σχεδιάστε τα βοηθητικά ευθύγραμμα τμήματα ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle DC}$ και ${\displaystyle DE}$. Με πλευρά-γωνία-πλευρά, τα τρίγωνα ${\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}$. Επομένως, ${\displaystyle \angle ABE\cong \angle ACD}$ ${\displaystyle \angle ADC\cong \angle AEB}$, και ${\displaystyle BE\cong CD}$. Με την αφαίρεση σύμφωνων ευθύγραμμων τμημάτων, ${\displaystyle BD\cong CE}$. Έτσι δημιουργείται ένα άλλο ζεύγος σύμφωνων τριγώνων, ${\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}$και πάλι από πλευρά-γωνία-πλευρά. Επομένως ${\displaystyle \angle BDE\cong \angle CED}$ και ${\displaystyle \angle BED\cong \angle CDE}$. Αφαιρώντας τις σύμφωνες γωνίες, προκύπτει ${\displaystyle \angle BDC\cong \angle CEB}$. Τέλος, ${\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}$ με μια τρίτη εφαρμογή της γωνίας πλευράς-πλευράς-πλευράς. Επομένως ${\displaystyle \angle CBD\cong \angle BCE}$, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Πάππος

Ο Πρόκλος δίνει μια πολύ συντομότερη απόδειξη που αποδίδεται στον Πάππος ο Αλεξανδρεύς. Αυτή δεν είναι μόνο απλούστερη αλλά δεν απαιτεί καθόλου πρόσθετη κατασκευή. Η μέθοδος της απόδειξης είναι η εφαρμογή της πλευρικής γωνίας-πλευράς στο τρίγωνο και στο κατοπτρικό του είδωλο. Οι πιο σύγχρονοι συγγραφείς, μιμούμενοι τη μέθοδο απόδειξης που δόθηκε για την προηγούμενη πρόταση, περιγράφουν αυτό ως το να σηκώνεις το τρίγωνο, να το γυρίζεις και να το βάζεις πάνω του.^[11][12] Η μέθοδος αυτή διακωμωδείται από τον Τσαρλς Ντότζσον στο «Ο Ευκλείδης και οι σύγχρονοι αντίπαλοί του», αποκαλώντας την «ιρλανδικό ταύρο» επειδή προφανώς απαιτεί το τρίγωνο να βρίσκεται σε δύο θέσεις ταυτόχρονα.^[13]

Η απόδειξη έχει ως εξής:^[14] Έστω ABC ισοσκελές τρίγωνο με AB και AC ίσες πλευρές. Θεωρούμε τα τρίγωνα ABC και ACB, όπου το ACB θεωρείται ένα δεύτερο τρίγωνο με κορυφές A, C και B που αντιστοιχούν αντίστοιχα στις A, B και C του αρχικού τριγώνου. Το ${\displaystyle \angle A}$ είναι ίσο με τον εαυτό του, AB = AC και AC = AB, άρα από την πλευρά-γωνία-πλευρά, τα τρίγωνα ABC και ACB είναι συγγραμμικά. Συγκεκριμένα, ${\displaystyle \angle B=\angle C}$.^[15]

Άλλοι

Μια απόδειξη εγχειριδίου

Μια συνηθισμένη μέθοδος των σχολικών βιβλίων είναι να κατασκευάσουμε την διχοτόμο της γωνίας στο Α.^[16] Αυτή είναι απλούστερη από την απόδειξη του Ευκλείδη, αλλά ο Ευκλείδης δεν παρουσιάζει την κατασκευή της διχοτόμου γωνίας παρά μόνο στην πρόταση 9. Έτσι, η σειρά παρουσίασης των προτάσεων του Ευκλείδη θα πρέπει να αλλάξει για να αποφευχθεί η πιθανότητα κυκλικής συλλογιστικής.

Η απόδειξη προχωρά ως εξής:^[17] Όπως και πριν, έστω το τρίγωνο ABC με AB = AC. Κατασκευάστε τη διχοτόμο γωνίας του ${\displaystyle \angle BAC}$ και επεκτείνετε την ώστε να συναντήσει το BC στο X. Το AB = AC και το AX είναι ίσο με τον εαυτό του. Επιπλέον, ${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$, άρα, εφαρμόζοντας την πλευρά-γωνία-πλευρά, το τρίγωνο BAX και το τρίγωνο CAX είναι συγγραμμικά. Προκύπτει ότι οι γωνίες στο B και στο C είναι ίσες.

Ο Λεζάντρ χρησιμοποιεί μια παρόμοια κατασκευή στο βιβλίο του Éléments de géométrie, λαμβάνοντας όμως το Χ ως το μέσο του BC.^[18] Η απόδειξη είναι παρόμοια, αλλά πρέπει να χρησιμοποιηθεί η πλευρά-πλευρά-πλευρά αντί της πλευράς-γωνίας-πλευρά, και η πλευρά-πλευρά-πλευρά δεν δίνεται από τον Ευκλείδη παρά μόνο αργότερα στα Στοιχεία.

Το 1876, ενώ ήταν μέλος του Κογκρέσου των Ηνωμένων Πολιτειών, ο μελλοντικός πρόεδρος Τζέιμς Α. Γκάρφιλντ ανέπτυξε μια απόδειξη χρησιμοποιώντας το τραπέζιο, η οποία δημοσιεύτηκε στο New England Journal of Education ^[19]. Ο ιστορικός των μαθηματικών Γουίλιαμ Ντάναμ έγραψε ότι η εργασία του Γκάρφιλντ για το τραπέζιο ήταν «πραγματικά μια πολύ έξυπνη απόδειξη»^[20] . Σύμφωνα με το Περιοδικό, ο Γκάρφιλντ έφτασε στην απόδειξη «σε μαθηματικές διασκεδάσεις και συζητήσεις με άλλα μέλη του Κογκρέσου»^[21].

Σε χώρους εσωτερικού γινομένου

Το θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου ισχύει σε χώρους εσωτερικού γινομένου] πάνω από τον πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός. Σε τέτοιους χώρους, δοθέντων διανυσμάτων x, y και z, το θεώρημα λέει ότι αν ${\displaystyle x+y+z=0}$ και ${\displaystyle \|x\|=\|y\|,}$ τότε ${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

Αφού ${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2}}$ και ${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta ,}$ όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, το συμπέρασμα αυτής της μορφής του θεωρήματος με εσωτερικό γινόμενο είναι ισοδύναμο με τη δήλωση για την ισότητα των γωνιών.

Μεταφορική χρήση

Οι χρήσεις του pons asinorum (γέφυρα των γαϊδουριών) ως μεταφορά για ένα τεστ κριτικής σκέψης περιλαμβάνουν:

• Το "The Philobiblon" ^[22] του 14ου αιώνα του Ρίτσαρντ Αουντερβίλ περιέχει το απόσπασμα «Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis potest eum audire?», το οποίο συγκρίνει το θεώρημα με έναν απότομο γκρεμό που καμία σκάλα δεν μπορεί να βοηθήσει να σκαρφαλώσει και αναρωτιέται πόσοι επίδοξοι γεωμέτρες έχουν απομακρυνθεί.^[5]
• Ο όρος pons asinorum (γέφυρα των γαϊδουριών), τόσο ως γέφυρα όσο και ως δοκιμασία, χρησιμοποιείται ως μεταφορά για την εύρεση του μεσαίου όρου ενός συλλογισμού.^[5]
• Ο ποιητής του 18ου αιώνα Τόμας Κάμπελ έγραψε ένα χιουμοριστικό ποίημα με τίτλο «Pons asinorum», όπου μια τάξη γεωμετρίας επιτίθεται στο θεώρημα όπως ένας λόχος στρατιωτών μπορεί να επιτεθεί σε ένα φρούριο- η μάχη δεν ήταν χωρίς απώλειες.^[23]
• Ο οικονομολόγος Τζον Στιούαρτ Μιλ αποκάλεσε το νόμο του Ρικάρντο για το ενοίκιο «pons asinorum» των οικονομικών.^[24]
• Η φινλανδική λέξη aasinsilta και η σουηδική λέξη åsnebrygga είναι μια λογοτεχνική τεχνική όπου μια ισχνή, ακόμη και επιτηδευμένη σύνδεση μεταξύ δύο επιχειρημάτων ή θεμάτων, η οποία είναι σχεδόν αλλά όχι εντελώς ακατάλληλη, χρησιμοποιείται ως αμήχανη μετάβαση μεταξύ τους. Σε σοβαρό κείμενο, θεωρείται στιλιστικό σφάλμα, καθώς ανήκει κανονικά στη ροή της συνείδησης ή στο στιλ causerie. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το κλείσιμο μιας ενότητας με την αναφορά του θέματος της επόμενης ενότητας, χωρίς να μπαίνει στον κόπο να εξηγήσει γιατί τα θέματα συνδέονται, η επέκταση μιας περιστασιακής αναφοράς σε λεπτομερή επεξεργασία ή η εύρεση μιας επιτηδευμένης σύνδεσης μεταξύ των θεμάτων (π.χ. «Αγοράσαμε κόκκινο κρασί- μιλώντας για κόκκινα υγρά, αύριο είναι η Παγκόσμια Ημέρα Αιμοδοσίας»).
• Στα ολλανδικά, ezelsbruggetje («μικρή γέφυρα των γαϊδουριών») είναι η λέξη για ένα μνημονικό. Το ίδιο ισχύει και για τη γερμανική Eselsbrücke.
• Στα τσεχικά, το oslí můstek έχει δύο σημασίες - μπορεί να περιγράψει είτε μια επινοημένη σύνδεση μεταξύ δύο θεμάτων είτε ένα μνημονικό.

Τεχνητή νοημοσύνη απόδειξη μύθου

Ένα επίμονο κομμάτι της μαθηματικής λαογραφίας ισχυρίζεται ότι ένα πρόγραμμα τεχνητής νοημοσύνης ανακάλυψε μια πρωτότυπη και πιο κομψή απόδειξη αυτού του θεωρήματος^[25][26]. Στην πραγματικότητα, ο Μάρβιν Μίνσκι διηγείται ότι είχε ανακαλύψει ξανά την απόδειξη του Πάππου (την οποία δεν γνώριζε) προσομοιώνοντας τι θα μπορούσε να κάνει ένας μηχανικός ελεγκτής θεωρημάτων^[27][12].

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62. 

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9 
• Arslanagić, Šefket, «Problem η44», Inequalities proposed in Crux Mathematicorum, σελ. 151, https://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf 
• Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987), Mathematical Recreations and Essays (13th έκδοση), Dover, footnote, p. 77, ISBN 0-486-25357-0 
• Baloglou, George; Helfgott, Michel (2008), «Angles, area, and perimeter caught in a cubic», Forum Geometricorum 8: 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200803.pdf, ανακτήθηκε στις 2018-06-03 
• Bardell, Nicholas S. (2016), «Cubic polynomials with real or complex coefficients: The full picture», Australian Senior Mathematics Journal 30 (2): 5–26, https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1121417.pdf 
• Barnes, John (2012), Gems of Geometry (2nd, illustrated έκδοση), Springer, σελ. 27, ISBN 9783642309649, https://books.google.com/books?id=7YCUBUd-4BQC&pg=PA27 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Παραλληλόγραμμο
• Ισοσκελές τρίγωνο
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra..
• Characters of Groups and Lattices over Orders: From Ordinary to Integral ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

1. Byrne, Oliver (1847). The First Six Books of The Elements of Euclid in which Coloured Diagrams and Symbols are Used Instead of Letters for the Greater Ease of Learners (στα English). Taschen. σελίδες Page 5. ISBN 978-1528770439. 
2. ««Euclid's elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν - Βιβλίο1 - 5» (PDF)» (PDF). 
3. «Pons asinorum». Merriam-Webster.com Dictionary. http://www.merriam-webster.com/dictionary/pons%20asinorum. 
4. D.E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284
5. A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" The Princeton University bulletin Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84
6. Hernández, Cándida Ferrero· Tolan, John (25 Οκτωβρίου 2021). The Latin Qur’an, 1143–1500: Translation, Transition, Interpretation. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-070271-2. 
7. Smith, David Eugene (1925). History Of Mathematics. 2. Ginn & Co. pgs 284, footnote 1. 
8. Derbyshire, John (2003). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. 500 Fifth Street, NW, Washington D.C. 20001: Joseph Henry Press. σελ. 202. ISBN 0-309-08549-7. first-class mathematician. 
9. Heath pp. 251–255
10. Following Proclus p. 53
11. For example F. Cuthbertson Primer of geometry (1876 Oxford) p. 7
12. Michael A.B. Deakin, "From Pappus to Today: The History of a Proof", The Mathematical Gazette 74:467:6-11 (March 1990) {{:en:JSTOR|3618841}}
13. Charles Lutwidge Dodgson, Euclid and his Modern Rivals Act I Scene II §6
14. Following Proclus p. 54
15. Heath p. 254 for section
16. Π.χ. J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) σελ. 20
17. Following Wilson
18. A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
19. G., J. A. (1876). «Pons Asinorum». New England Journal of Education 3 (14): 161. ISSN 2578-4145. https://www.jstor.org/stable/44764657. 
20. Dunham, William (1994). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities. Wiley & Sons. σελ. 99. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN 9780471536567. 
21. Kolpas, Sid J. «Mathematical Treasure: Garfield's Proof of the Pythagorean Theorem». Mathematical Assoc. of America. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 Δεκεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 22 Δεκεμβρίου 2021. 
22. Duke University Libraries, Richard de· West, Andrew Fleming (1889). The Philobiblon of Richard de Bury;. New York, Printed for the Grolier club. 
23. Campbell, Thomas (1864). The Poetical Works of Thomas Campbell (στα Αγγλικά). Little, Brown. 
24. John Stuart Mill Principles of Political Economy (1866: Longmans, Green, Reader, and Dyer) Book 2, Chapter 16, p. 261
25. Jaakko Hintikka, "On Creativity in Reasoning", in Ake E. Andersson, N.E. Sahlin, eds., The Complexity of Creativity, 2013, ISBN 9401587884, p. 72
26. A. Battersby, Mathematics in Management, 1966, quoted in Deakin
27. Jeremy Bernstein, "Profiles: A.I." (interview with Marvin Minsky), The New Yorker December 14, 1981, p. 50-126

• Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
• Euclid, commentary by Proclus, ed. and trans. by T. Taylor Elements Vol. 2 (1789) Google Books
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306