Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)

Το θεώρημα του Όιλερ δίνει έναν τύπο για την απόσταση ${\displaystyle \mathrm {OI} }$, συναρτήσει των ${\displaystyle R}$ και ${\displaystyle r}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Όιλερ ή σχέση Όιλερ (αναφέρεται και ως θεώρημα του Euler ή σχέση Euler) σε ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος που δίνει την απόσταση του περίκεντρου από το έγκεντρο συανρτήσει της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου και του εγγεγραμμένου κύκλου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ η απόσταση του περικέντρου ${\displaystyle \mathrm {O} }$ από το έγκεντρο ${\displaystyle \mathrm {I} }$ είναι ίση με ^[1]:215-216

${\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho }$,

όπου ${\displaystyle R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και ${\displaystyle \rho }$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Επίσης ισχύει ότι αν ${\displaystyle \mathrm {J_{A}} ,\mathrm {J_{B}} ,\mathrm {J_{\Gamma }} }$ είναι τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου και ${\displaystyle \rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }}$ οι ακτίνες τους, τότε

${\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad }$ ${\displaystyle \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad }$ και ${\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.}$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1765.^[2] Το ίδιο αποτέλεσμα είχε δημοσιευθεί νωρίτερα από τον William Chapple το 1746.^[3]

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης για το θεώρημα του Όιλερ.

Θεωρούμε την τομή ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ της προέκτασης της ${\displaystyle \mathrm {AI} }$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και ${\displaystyle \mathrm {E} }$ το αντιδιαμετρικό σημείο του ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$.

Τώρα θα δείξουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {I\Delta } =\mathrm {B\Delta } }$. Η ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BI\Delta } }}={\widehat {\mathrm {IAB} }}+{\widehat {\mathrm {IBA} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})}$, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AIB} }$. Επίσης, έχουμε ότι ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {IB\Delta } }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})}$, καθώς ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {IB\Gamma } }}={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {B} }}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {\Delta B\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {\Delta A\Gamma } }}={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }}}$ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα ίδια τόξα.

Συνεπώς, το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {BI\Delta } }$ είναι ισοσκελές και ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta } }$.

Στην συνέχεια, τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AI~I_{\Gamma }} }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Delta E} }$ είναι όμοια και επομένως

${\displaystyle {\frac {\mathrm {IA} }{\mathrm {I~I_{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {\Delta E} }{\mathrm {B\Delta } }}}$.

Χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle \mathrm {I~I_{\Gamma }} =\rho }$, ${\displaystyle \mathrm {\Delta E} =2R}$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta } }$ λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle \mathrm {IA} \cdot \mathrm {I\Delta } =\mathrm {BE} \cdot \mathrm {I~I_{\Gamma }} =2R\cdot \rho }$.

Τέλος από την δύναμη του σημείου ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο, καταλήγουμε ότι

${\displaystyle R^{2}-\mathrm {OI} ^{2}=2R\rho \Rightarrow \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho }$.

Δείτε επίσης

• Περίκεντρο τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου
• Παράκεντρα τριγώνου

Παραπομπές

1. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
2. Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), «Euler and triangle geometry», The Mathematical Gazette 91 (522): 436–452, doi:10.1017/S0025557200182087 
3. Chapple, William (1746), «An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles», Miscellanea Curiosa Mathematica 4: 117–124, https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142 . Η σχέση είναι κοντά στο τέλος της σελίδας 123.