Ισοσκελές τραπέζιο

Ισοσκελές τραπέζιο με ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma } }$, ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {B}}}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {\Delta }}}}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ισοσκελές τραπέζιο είναι ένα τραπέζιο στο οποίο οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. Από αυτή την ιδιότητα έπεται ότι και οι προσκείμενες στις βάσεις του γωνίες είναι ανά δύο ίσες.^{[1][2]:127-128[3]:78}

Ένα ισοσκελές τραπέζιο που είναι και ορθογώνιο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ιδιότητες

• Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι προσκείμενες σε βάση γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη

Οι προσκείμενες σε βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα ισοσκελές τραπέζιο με ${\displaystyle {\rm {AB}}\leq {\rm {\Gamma \Delta }}}$. Θεωρούμε τα ύψη του ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {BB'} }$ ύψη. Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AA'\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {BB'\Gamma } }$ έχουν μία κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίσες, άρα είναι ίσα. Συνεπώς θα έχουν και τις γωνίες τους ίσες, δηλαδή ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}}$ και ${\displaystyle \angle \mathrm {\Delta AA'} =\angle \mathrm {\Gamma BB'} }$. Προσθέτοντας κατά μέλη μία ορθή γωνία στην δεύτερη ισότητα, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}}$ (ισότητα γωνιών). (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα τραπέζιο με ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}}$. Θεωρούμε τα δύο ύψη του τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {BB'} }$. Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AA'\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {BB'\Gamma } }$ είναι ίσα καθώς έχουν μία κάθετη πλευρά (${\displaystyle \mathrm {AA'} =\mathrm {BB'} }$) και δύο γωνίες ίσες. Επομένως, ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma } }$.

• Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι διαγώνιες του είναι ίσες.

Απόδειξη

(${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα ισοσκελές τραπέζιο και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$, ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } }$ οι διαγώνιοί του. Τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Delta \Gamma } }$ έχουν ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma } }$, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Delta } }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$ (ισότητα γωνιών) και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } =\mathrm {\Delta \Gamma } }$, άρα είναι ίσα (κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς). Έτσι θα έχουν και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta } }$. Οι διαγώνιες ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα τραπέζιο με ίσες διαγωνίους, ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta } }$ και έστω ${\displaystyle \mathrm {O} }$ το σημείο τομής τους. Θεωρούμε επίσης τα δύο ύψη ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ και ${\displaystyle \Delta \Delta '}$. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AA'\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta \Delta 'B} }$ είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες, τις ${\displaystyle \mathrm {AA'} =\Delta \Delta '}$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta } }$. Επομένως, ${\displaystyle \angle \mathrm {A\Gamma A'} =\angle \mathrm {\Delta B\Delta '} }$. Λόγω της παραλληλίας των ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }$, προκύπτει ότι ${\displaystyle \angle \mathrm {A\Gamma \Delta } =\angle \mathrm {\Gamma AB} }$ και ${\displaystyle \angle \mathrm {AB\Delta } =\angle \mathrm {B\Delta \Gamma } }$. Επομένως, τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {\Gamma O\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {AOB} }$ είναι ισοσκελή, άρα ${\displaystyle \mathrm {AO} =\mathrm {BO} }$ και ${\displaystyle \mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta } }$. Τέλος, τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AO\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {BO\Gamma } }$ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Καταλήγουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma } }$ και το τραπέζιο είναι ισοσκελές.

• Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν είναι εγγράψιμο.

Απόδειξη

Ισοσκελές τραπέζιο με τον περιγεγραμμένο του κύκλο. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα ισοσκελές τραπέζιο. Τότε ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}}$. Επειδή η ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ είναι παράλληλη στην ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }$, έχουμε ότι η ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ είναι παραπληρωματική στην ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Delta } }}}$ εντός και επί ταυτά. Επίσης επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές, έχουμε ότι ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Delta } }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$, και άρα η ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ είναι παραπληρωματική της ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$. Επομένως, το ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ είναι εγγράψιμο. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ ένα εγγράψιμο τραπέζιο. Τότε οι απέναντι γωνίες ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$ είναι παραπληρωματικές. Επειδή η ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ είναι παράλληλη στην ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }$ οι ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Delta } }}}$ είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί ταυτά. Επομένως, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}}$.

• Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, η μεσοκάθετος των δύο βάσεων διέρχεται από το σημείο τομής των δύο διαμέσων, και είναι και άξονας συμμετρίας του τραπεζίου.

Μετρικές σχέσεις

Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ισχύουν οι παρακάτω μετρικές σχέσεις:

• Το μήκος των διαγωνίων του δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {A\Gamma } ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } }}.}$

Απόδειξη

Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Επομένως, από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {B\Gamma } +\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } .}$ Αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {A\Gamma } }$ και επομένως ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {A\Gamma } ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } }}.}$

• Το μήκος του ύψους του τραπεζίου δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle \upsilon ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {AB} }{2}}\right)^{2}}}.}$

Απόδειξη

Έστω ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ και ${\displaystyle \mathrm {BB'} }$ τα ύψη του τραπεζίου. Τότε λόγω συμμετρίας, έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {AA'} =\mathrm {BB'} ={\frac {\mathrm {B\Gamma } -\mathrm {AB} }{2}}.}$ Επομένως, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AA'\Delta } }$, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle \upsilon ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {AB} }{2}}\right)^{2}}}.}$

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle R=\mathrm {B\Gamma } \cdot {\sqrt {\frac {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } }{4\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left(\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {AB} \right)^{2}}}}.}$

Απόδειξη

Αφού το ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ είναι εγγράψιμο, ο περιγεγραμμένος του κύκλος ταυτίζεται με αυτόν του τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma \Delta } }$. Εφαρμόζοντας τον νόμο των ημιτόνων σε αυτό το τρίγωνο, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle R={\frac {\mathrm {B\Delta } }{2\sin {\hat {\mathrm {\Gamma } }}}}.}$ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {} }$ λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle \sin {\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\frac {u}{\mathrm {B\Gamma } }}.}$ Συνδυάζοντας τον τύπο για το ύψος και τον τύπο για το μήκος των διαγωνίων, λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου δίνεται από τους εξής τύπους:

• (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Αφού το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, εφαρμόζοντας τον τύπο Βραχμαγκούπτα, το εμβαδόν του τραπεζίου δίνεται από:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )^{2}\cdot (\tau -\gamma )}}}$,

όπου ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )}$ είναι η ημιπερίμετρος του τραπεζίου.

• Από τον τύπο για το εμβαδόν του τραπεζίου και την παραπάνω έκφραση για το ύψος έχουμε ότι

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\cdot u={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\gamma -\alpha }{2}}\right)^{2}}}}$

Ειδικές περιπτώσεις

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ένα ισοσκελές τραπέζιο που είναι και ορθογώνιο, δηλαδή έχει μία από τις γωνίες του ορθές είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ισοσκελές τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Τρεις πλευρές ίσες

Μία ειδική περίπτωση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι αυτό που έχει τις δύο μη-παράλληλες πλευρές και μία από τις βάσεις ίσες.

Δείτε επίσης

• Τραπέζιο
• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Ισοσκελές τρίγωνο

Παραπομπές

1. Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
2. Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
3. Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία Τεύχος Α'. Αθήνα.