Καρδιοειδής καμπύλη

Κατασκευή της καρδιοειδούς καμπύλης

Η καρδιοειδής (από την ελληνική λέξη καρδιά) είναι μια επίπεδη καμπύλη, που σχηματίζεται από ένα σημείο στην περιφέρεια ενός κύκλου καθώς αυτός κυλίεται γύρω από έναν άλλο σταθερό κύκλο ίσης ακτίνας. Είναι ένα είδος επικυκλοειδούς καμπύλης. Παρότι ονομάζεται καρδιοειδής, το σχήμα της μοιάζει περισσότερο με την τομή ενός μήλου χωρίς το κοτσάνι.

Εξισώσεις

Αν θέσουμε ως α την ακτίνα του σταθερού κύκλου (η οποία είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που κυλίεται) και θεωρήσουμε ότι ο σταθερός κύκλος έχει κέντρο Κ(-α,0), τότε το οξύ άκρο της καρδιοειδούς είναι η αρχή των αξόνων και η καμπύλη μπορεί να περιγραφεί ως εξής:

• Παραμετρικές εξισώσεις

${\displaystyle x(\phi )=2a(1-\cos \phi )\cdot \cos \phi }$

${\displaystyle y(\phi )=2a(1-\cos \phi )\cdot \sin \phi }$

• Εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες:

${\displaystyle r(\phi )=2a(1-\cos \phi )}$

• Εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+4ax(x^{2}+y^{2})-4a^{2}y^{2}=0}$

Μετρικές ιδιότητες

• Εμβαδόν που περιέχεται από την καμπύλη: ${\displaystyle E=6\cdot \pi \cdot a^{2}}$.
• Μήκος της καμπύλης: ${\displaystyle L=16a}$.
• Ακτίνα καμπυλότητας: ${\displaystyle \rho (\phi )={\frac {8}{3}}\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)}$

Βασικές ιδιότητες της καρδιοειδούς

Ακτίνα της καρδιοειδούς

• Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της καρδιοειδούς («ακτίνα») και διέρχεται από το οξύ άκρο της έχει μήκος ίσο με ${\displaystyle 4a}$.
• Το μέσον κάθε ευθυγράμμου τμήματος που διέρχεται από το οξύ άκρο της καρδιοειδούς και ενώνει δύο σημεία της βρίσκεται πάνω στον σταθερό κύκλο με κέντρο Κ(-α,0).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Καρδιοειδής - Μαθηματική Εκπαίδευση και Τεχνολογία
• Αργύρης Φελούρης: Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας - Καμπύλες στο επίπεδο
• Καρδιοειδής Καμπύλη - MathStudies Blog