Κορυφή (γεωμετρία)

Στη γεωμετρία, η κορυφή είναι ένα σημείο όπου συναντώνται δύο ή περισσότερες καμπύλες, γραμμές ή ακμές. Ως συνέπεια αυτού του ορισμού, το σημείο όπου δύο ευθείες συναντώνται για να σχηματίσουν μια γωνία και οι γωνίες των πολυγώνων και των πολυέδρων είναι κορυφές.^[1][2]

Ορισμός

Μια γωνίας

Η κορυφή (vertex) μιας γωνίας είναι το σημείο όπου δύο γραμμές ή ακτίνες ενώνονται.

Η κορυφή μιας γωνίας είναι το σημείο: όπου ξεκινούν ή συναντώνται δύο ευθείες, όπου ενώνονται ή συναντώνται δύο ευθύγραμμα τμήματα, όπου τέμνονται δύο ευθείες ή οποιοσδήποτε κατάλληλος συνδυασμός ακτίνων, τμημάτων και γραμμών που καταλήγουν σε δύο "πλευρές" να τέμνονται σε ένα μέρος.^[2][3]

Ενός πολυτόπου

Η κορυφή είναι ένα γωνιακό σημείο ενός πολυγώνου, πολυέδρου ή άλλου πολυτόπου υψηλότερης διάστασης, που σχηματίζεται από την τομή ακμών ή εδρών του αντικειμένου.^[3]

Σε ένα πολύγωνο, μια κορυφή ονομάζεται "κυρτή" εάν η εσωτερική γωνία του πολυγώνου (δηλαδή η γωνία που σχηματίζουν από μέσα οι δύο ακμές στην κορυφή με το πολύγωνο) είναι μικρότερη από π ακτίνια (δηλαδή 180°, δύο ορθές γωνίες), αλλιώς ονομάζεται «κοίλη».^[4] Γενικότερα, μια κορυφή ενός πολυέδρου ή πολυτόπου είναι κυρτή, εάν η τομή του πολυέδρου ή του πολυτόπου με μια αρκετά μικρή σφαίρα που έχει κέντρο αυτή την κορυφή είναι κυρτή και διαφορετικά είναι κοίλη.

Στη θεωρία γράφων, οι κορυφές μπορεί να έχουν λιγότερες από δύο προσπίπτουσες ακμές, κάτι που συνήθως δεν επιτρέπεται για γεωμετρικές κορυφές. Υπάρχει επίσης μια σύνδεση μεταξύ των γεωμετρικών κορυφών και των κορυφών μιας καμπύλης: τα σημεία ακραίας καμπυλότητάς της. Κατά κάποια έννοια, οι κορυφές ενός πολυγώνου είναι σημεία άπειρης καμπυλότητας, και αν ένα πολύγωνο προσεγγιστεί με μια ομαλή καμπύλη, θα υπάρξει ένα σημείο ακραίας καμπυλότητας κοντά σε κάθε κορυφή του πολυγώνου.^[5] Ωστόσο, μια ομαλή καμπύλη σε ένα πολύγωνο θα έχει επίσης πρόσθετες κορυφές, στα σημεία όπου η καμπυλότητά του είναι ελάχιστη.

Μιας ψηφιδοθέτησης

Η κορυφή ενός επίπεδου που καλύπτεται με πλακίδια, δηλαδή μιας ψηφιδοθέτησης, είναι ένα σημείο όπου συναντώνται τρία ή περισσότερα πλακίδια.^[6] Συνήθως, αλλά όχι πάντα, τα πλακίδια μιας ψηφιδοθέτησης είναι πολύγωνα και οι κορυφές της είναι επίσης κορυφές των πλακιδίων της. Γενικότερα, ένα πλακίδιο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα είδος τοπολογικού συμπλέγματος κυψελών, όπως μπορούν να θεωρηθούν και οι όψεις ενός πολυέδρου ή πολυτόπου.

Αριθμός κορυφών ενός πολυέδρου

Η επιφάνεια κάθε κυρτού πολυέδρου έχει τη χαρακτηριστική του Όιλερ

${\displaystyle V-E+F=2,}$

όπου V είναι ο αριθμός των κορυφών, E είναι ο αριθμός των ακμών και F είναι ο αριθμός των εδρών. Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως τύπος πολυέδρων του Όιλερ. Έτσι, ο αριθμός των κορυφών είναι 2 μεγαλύτερος από τον αριθμό των ακμών μείον τον αριθμό των εδρών. Για παράδειγμα, εφόσον ένας κύβος έχει 12 ακμές και 6 έδρες, ο τύπος μας λέει ότι έχει 8 κορυφές.

Κορυφές στα γραφικά υπολογιστών

Στα γραφικά υπολογιστών, τα αντικείμενα συχνά αναπαρίστανται ως τριγωνικά πολύεδρα στα οποία οι κορυφές των αντικειμένων συνδέονται όχι μόνο με τρεις χωρικές συντεταγμένες αλλά και με άλλες γραφικές πληροφορίες που είναι απαραίτητες για τη σωστή απόδοση του αντικειμένου, όπως χρώματα, ιδιότητες ανάκλασης και υφές.^[7]

Βιβλιογραφικές αναφορές

1. «Vertices, Edges and Faces». www.mathsisfun.com. Ανακτήθηκε στις 16 Αυγούστου 2020. 
2. «What Are Vertices in Math?». Sciencing (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 16 Αυγούστου 2020. 
3. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] έκδοση). New York: Dover Publications. 
4. Jing, Lanru· Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science. 
5. Bobenko, Alexander I.· Schröder, Peter (2008). Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7. 
6. M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) (ISBN 0-12-040602-0), Academic Press, 1989.
7. Christen, Martin. «Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes». Khronos Group. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Απριλίου 2019. Ανακτήθηκε στις 26 Ιανουαρίου 2009. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W. "Polygon Vertex". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Polyhedron Vertex". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Principal Vertex". MathWorld.