Κουνέλι του Ντουαντί

Αλυσίδα κουνελιών Ντουαντί. Πρόκειται για το κεντρικό τμήμα του συνόλου Julia. Η παράμετρος c είναι το σημείο (-1,167741, 0,243119) του συνόλου Μάντελμπροτ.

Το κουνέλι Ντουαντί είναι ένα ιδιαίτερο σύνολο Julia που η παράμετρος του είναι κοντά στο κέντρο μιας περιόδου 3 βολβών του συνόλου Μάντελμπροτ που αντιστοιχεί σε έναν μιγαδικό τετραγωνικό χάρτη. Πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Αντριέν Ντουαντί.^[1]

Ορισμός

Το κουνέλι δημιουργείται με την επανάληψη του χάρτη του συνόλου Μάντελμπροτ ${\displaystyle z=z^{2}+c}$ στο μιγαδικό επίπεδο με το ${\displaystyle c}$ να είναι σταθερό ώστε να βρίσκεται στο βολβό της περιόδου τρία του κύριου καρδιοειδούς και το ${\displaystyle z}$ να κυμαίνεται πάνω στο επίπεδο.

Τα εικονοστοιχεία στην εικόνα χρωματίζονται στη συνέχεια για να δείξουν αν για μια συγκεκριμένη τιμή του ${\displaystyle z}$ η επανάληψη συγκλίνει ή αποκλίνει.

Μορφές του μιγαδικού τετραγωνικού χάρτη

Υπάρχουν δύο κοινές μορφές για τον μιγαδικό τετραγωνικό χάρτη ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Η πρώτη, που ονομάζεται επίσης μιγαδικός λογιστικός χάρτης, γράφεται ως

${\displaystyle z_{n+1}={\mathcal {M}}z_{n}=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right),}$

όπου ${\displaystyle z}$ είναι μια μιγαδική μεταβλητή και ${\displaystyle \gamma }$ είναι μια μιγαδική παράμετρος. Η δεύτερη κοινή μορφή είναι

${\displaystyle w_{n+1}={\mathcal {M}}w_{n}=w_{n}^{2}-\mu .}$

Εδώ ${\displaystyle w}$ είναι μια μιγαδική μεταβλητή και ${\displaystyle \mu }$ είναι μια μιγαδική παράμετρος. Οι μεταβλητές ${\displaystyle z}$ και ${\displaystyle w}$ συνδέονται με την εξίσωση

${\displaystyle z=-{\frac {w}{\gamma }}+{\frac {1}{2}},}$

και οι παράμετροι ${\displaystyle \gamma }$ και ${\displaystyle \mu }$ συνδέονται με τις εξισώσεις

${\displaystyle \mu =\left({\frac {\gamma -1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\quad ,\quad \gamma =1\pm {\sqrt {1+4\mu }}.}$

Να σημειωθεί ότι το ${\displaystyle \mu }$ παραμένει αμετάβλητο με την αντικατάσταση ${\displaystyle \gamma \to 2-\gamma }$.

Εικόνες

• 
  Βαθμός σύγκλισης των επιπέδων του γκρι
• 
  Όρια καθορισμένων επιπέδων
• 
  Χοντρό κουνέλι
• 
  Με το κεντρικό "αγκάθι"
• 
  Συγκλίνουσες εξωτερικές δέσμες σε ${\displaystyle \alpha _{c}\,}$
• 
  Ταραγμένο κουνέλι^[2]
• 
  Μεγέθυνση του κουνελιού που διαταράχθηκε
• 
  Η στολή Julia για το fc(z) = z^2 - 0.110 + 0.6557i.

Σύνολο Μάντελμπροτ και γεμάτα σύνολα Julia

Υπάρχουν δύο επίπεδα που σχετίζονται με το ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Το ένα από αυτά, το επίπεδο ${\displaystyle z}$ (ή ${\displaystyle w}$), ονομάζεται επίπεδο απεικόνισης, καθώς το ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ στέλνει αυτό το επίπεδο στον εαυτό του. Το άλλο, το επίπεδο ${\displaystyle \gamma }$ (ή ${\displaystyle \mu }$), ονομάζεται επίπεδο ελέγχου.^[3]

Η φύση όσων συμβαίνουν στο επίπεδο χαρτογράφησης υπό την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή του ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ εξαρτάται από το πού βρίσκεται το ${\displaystyle \gamma }$ (ή ${\displaystyle \mu }$ ) στο επίπεδο ελέγχου. Το γεμάτο σύνολο Julia αποτελείται από όλα τα σημεία στο επίπεδο απεικόνισης των οποίων οι εικόνες παραμένουν περιορισμένες κάτω από απεριόριστα επαναλαμβανόμενες εφαρμογές του ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Το σύνολο Μάντελμπροτ αποτελείται από εκείνα τα σημεία στο επίπεδο ελέγχου, έτσι ώστε το σχετικό γεμάτο σύνολο Julia στο επίπεδο απεικόνισης να είναι συνδεδεμένο.

Στην Εικόνα 1 παρουσιάζεται το σύνολο Μάντελμπροτ όταν η παράμετρος ελέγχου είναι η ${\displaystyle \gamma }$ και στην Εικόνα 2 παρουσιάζεται το σύνολο Μάντελμπροτ όταν η παράμετρος ελέγχου είναι η ${\displaystyle \mu }$. Δεδομένου ότι τα ${\displaystyle z}$ και ${\displaystyle w}$ είναι αφινικοί μετασχηματισμοί του ενός του άλλου (ένας γραμμικός μετασχηματισμός συν μια μετάθεση), τα γεμάτα σύνολα Julia φαίνονται σχεδόν τα ίδια είτε στο επίπεδο ${\displaystyle z}$ είτε στο επίπεδο ${\displaystyle w}$.

Εικόνα 1: Το σύνολο Μάντελμπροτ στο επίπεδο ${\displaystyle \gamma }$.

Εικόνα 2: Το σύνολο Μάντελμπροτ στο επίπεδο ${\displaystyle \mu }$.

Κουνέλι Ντουαντί

Το κουνέλι Ντουαντί σε μια εκθετική οικογένεια

Πλαστικοποίηση του συνόλου Julia του κουνελιού

Αναπαράσταση της δυναμικής στο εσωτερικό του κουνελιού.

Το κουνέλι Ντουαντί περιγράφεται πιο εύκολα με όρους του συνόλου Μάντελμπροτ, όπως φαίνεται στην Εικόνα 1 (παραπάνω). Σε αυτό το σχήμα, το σύνολο Μάντελμπροτ, τουλάχιστον όταν το βλέπουμε από απόσταση, εμφανίζεται ως δύο πλάι-πλάι μοναδιαίοι δίσκοι με βλαστούς. Ας θεωρήσουμε τα βλαστάρια στις θέσεις μία και πέντε της ώρας στον δεξιό δίσκο ή τα βλαστάρια στις θέσεις επτά και έντεκα της ώρας στον αριστερό δίσκο. Όταν το ${\displaystyle \gamma }$ βρίσκεται μέσα σε ένα από αυτά τα τέσσερα βλαστάρια, το σχετικό συμπληρωμένο σύνολο Julia στο επίπεδο απεικόνισης είναι ένας κουνέλι Ντουαντί. Για αυτές τις τιμές του ${\displaystyle \gamma }$, μπορεί να αποδειχθεί ότι το ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ έχει το ${\displaystyle z=0}$ και ένα άλλο σημείο ως ασταθή (απωθητικά) σταθερά σημεία και το ${\displaystyle z=\infty }$ ως ελκτικό σταθερό σημείο. Επιπλέον, ο χάρτης ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ έχει τρία ελκτικά σταθερά σημεία. Το κουνέλι του Ντουαντί αποτελείται από τα τρία ελκτικά σταθερά σημεία ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, και ${\displaystyle z_{3}}$ και τις λεκάνες έλξης τους.

Παραδείγματος χάριν, στην Εικόνα 3 παρουσιάζεται το κουνέλι του Ντουαντί στο επίπεδο ${\displaystyle z}$, όταν ${\displaystyle \gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i}$, ένα σημείο στην εκβλάστηση των πέντε ωρών του δεξιού δίσκου. Για αυτή την τιμή του ${\displaystyle \gamma }$, ο χάρτης ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ έχει τα απωθητικά σταθερά σημεία ${\displaystyle z=0}$ και ${\displaystyle z=.656747-.129015i}$. Τα τρία ελκτικά σταθερά σημεία του ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ (που ονομάζονται επίσης σταθερά σημεία τριών περιόδων) έχουν τις θέσεις

${\displaystyle z_{1}=0.499997032420304-(1.221880225696050\times 10^{-6})i{\;}{\;}{\mathrm {(red)} },}$

${\displaystyle z_{2}=0.638169999974373-(0.239864000011495)i{\;}{\;}{\mathrm {(green)} },}$

${\displaystyle z_{3}=0.799901291393262-(0.107547238170383)i{\;}{\;}{\mathrm {(yellow)} }.}$

Τα κόκκινα, πράσινα και κίτρινα σημεία βρίσκονται στις λεκάνες ${\displaystyle B(z_{1})}$, ${\displaystyle B(z_{2})}$, and ${\displaystyle B(z_{3})}$ του ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$, αντίστοιχα. Τα λευκά σημεία βρίσκονται στη λεκάνη${\displaystyle B(\infty )}$ του ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Η δράση του ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ σε αυτά τα σταθερά σημεία δίνεται από τις σχέσεις

${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{1}=z_{2},}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{2}=z_{3},}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{3}=z_{1}.}$

Στις σχέσεις αυτές αντιστοιχούν τα εξής αποτελέσματα

${\displaystyle {\mathcal {M}}B(z_{1})=B(z_{2}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {red} }\subseteq {\mathrm {green} },}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}B(z_{2})=B(z_{3}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {green} }\subseteq {\mathrm {yellow} },}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}B(z_{3})=B(z_{1}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {yellow} }\subseteq {\mathrm {red} }.}$

Εικόνα 3: Το κουνέλι του Ντουαντί για ${\displaystyle \gamma =2.55268-0.959456i}$ ή ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$.

Ως δεύτερο παράδειγμα, την εικόνα 4 παρουσιάζει ένα κουνέλι Ντουαντί όταν ${\displaystyle \gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i}$, ένα σημείο στο βλαστό έντεκα ωρών στον αριστερό δίσκο. (Όπως σημειώθηκε προηγουμένως, το ${\displaystyle \mu }$ είναι αναλλοίωτο κάτω από αυτόν τον μετασχηματισμό.) Το κουνέλι κάθεται τώρα πιο συμμετρικά στο επίπεδο. Τα σταθερά σημεία της τρίτης περιόδου βρίσκονται τότε στο

${\displaystyle z_{1}=0.500003730675024+(6.968273875812428\times 10^{-6})i{\;}{\;}({\mathrm {red} }),}$

${\displaystyle z_{2}=-0.138169999969259+(0.239864000061970)i{\;}{\;}({\mathrm {green} }),}$

${\displaystyle z_{3}=-0.238618870661709-(0.264884797354373)i{\;}{\;}({\mathrm {yellow} }),}$

Τα απωθητικά σταθερά σημεία του ίδιου του ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ βρίσκονται στα ${\displaystyle z=0}$ και ${\displaystyle z=1.450795+0.7825835i}$.. Οι τρεις μεγάλοι λοβοί στα αριστερά, οι οποίοι περιέχουν τα σταθερά σημεία τριών περιόδων ${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$, και ${\displaystyle z_{3}}$, συναντώνται στο σταθερό σημείο${\displaystyle z=0}$, ενώ οι αντίστοιχοι λοβοί στα δεξιά συναντώνται στο σημείο ${\displaystyle z=1}$. Αποδεικνύεται ότι η επίδραση του ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ στα σημεία κοντά στην αρχή συνίσταται σε μια αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από την αρχή της ${\displaystyle \arg(\gamma )}$,), ή πολύ κοντά στο ${\displaystyle 120^{\circ }}$, ακολουθούμενη από κλιμάκωση (διαστολή) κατά έναν παράγοντα ${\displaystyle |\gamma |=1.1072538}$.

Εικόνα 4: Το κουνέλι του Ντουάντι για ${\displaystyle \gamma =-0.55268+0.959456i}$ ή ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$.

Πρόβλημα του στριφτού κουνελιού

Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Χάμπαρντ (Hubbard) έθεσε το λεγόμενο πρόβλημα του στριφτού Κουνέλιού, ένα πρόβλημα πολυωνυμικής ταξινόμησης. Ο στόχος είναι να προσδιοριστούν οι τύποι ισοδυναμίας Θάρστον των συναρτήσεων των μιγαδικών αριθμών που συνήθως δεν δίνονται από έναν τύπο (αυτά ονομάζονται τοπολογικά πολυώνυμα)":^[4] .

• δεδομένου ενός τοπολογικού τετραγωνικού του οποίου το σημείο διακλάδωσης είναι περιοδικό με περίοδο τρία, με ποιο τετραγωνικό πολυώνυμο είναι ισοδύναμο κατά Θάρστον;
• προσδιορισμός της κλάσης ισοδυναμίας των "στριμμένων κουνελιών", δηλαδή των συνθέτων του πολυωνύμου "κουνελιού" με nth δύναμη των στριμμένων κατά Dehn γύρω από τα αυτιά του.

Αρχικά επιλύθηκε από τους Λοράν Μπαρθολντί και Βολοντίμιρ Νεκρασέβιτς^[5]. χρησιμοποιώντας επαναληπτικές ομάδες μονοδρομιών.

Έχει επίσης επιλυθεί η γενίκευση του προβλήματος του στριμμένου κουνελιού στην περίπτωση όπου ο αριθμός των μετακριτικών σημείων είναι αυθαίρετα μεγάλος^[6].

Περισσότερες πληροφορίες

• Weisstein, Eric W., "Douady Rabbit Fractal" από το MathWorld.
• Dragt, A. «Lie Methods for Nonlinear Dynamics with Applications to Accelerator Physics». 
• Adrien Douady: La dynamique du lapin (1996) - video on the YouTube

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. Devaney, Robert L. (4 Μαΐου 2018). A First Course In Chaotic Dynamical Systems: Theory And Experiment. CRC Press. ISBN 978-0-429-98311-5. 
2. Recent Research Papers (Only since 1999) Robert L. Devaney: Rabbits, Basilicas, and Other Julia Sets Wrapped in Sierpinski Carpets
3. «Robert Thijs Kozma». homepages.math.uic.edu. Ανακτήθηκε στις 19 Οκτωβρίου 2023. 
4. «Polynomials, dynamics, and trees by Becca Winarski» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 1 Νοεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 8 Μαΐου 2022. 
5. «Thurston equivalence of topological polynomials by Laurent Bartholdi, Volodymyr Nekrashevych». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 8 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 8 Μαΐου 2022. 
6. «RECOGNIZING TOPOLOGICAL POLYNOMIALS BY LIFTING TREES by JAMES BELK, JUSTIN LANIER, DAN MARGALIT, AND REBECCA R. WINARSKI». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 8 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 8 Μαΐου 2022.