Κύβος (άλγεβρα)

y = x³, 0 ≤ x ≤ 25

Ο κύβος του Ρούμπικ σχηματίζεται από 27 μικρότερους στερεούς κύβους. Συνεπώς ο αριθμός 27 είναι τέλειος κύβος.

Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. ${\displaystyle \alpha }$, ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή ${\displaystyle \alpha \times \alpha \times \alpha }$. Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 60³ είναι (OEIS:A000578):

1^3 = 1	11^3 = 1331	21^3 = 9261	31^3 = 29,791	41^3 = 68,921	51^3 = 132,651
2^3 = 8	12^3 = 1728	22^3 = 10,648	32^3 = 32,768	42^3 = 74,088	52^3 = 140,608
3^3 = 27	13^3 = 2197	23^3 = 12,167	33^3 = 35,937	43^3 = 79,507	53^3 = 148,877
4^3 = 64	14^3 = 2744	24^3 = 13,824	34^3 = 39,304	44^3 = 85,184	54^3 = 157,464
5^3 = 125	15^3 = 3375	25^3 = 15,625	35^3 = 42,875	45^3 = 91,125	55^3 = 166,375
6^3 = 216	16^3 = 4096	26^3 = 17,576	36^3 = 46,656	46^3 = 97,336	56^3 = 175,616
7^3 = 343	17^3 = 4913	27^3 = 19,683	37^3 = 50,653	47^3 = 103,823	57^3 = 185,193
8^3 = 512	18^3 = 5832	28^3 = 21,952	38^3 = 54,872	48^3 = 110,592	58^3 = 195,112
9^3 = 729	19^3 = 6859	29^3 = 24,389	39^3 = 59,319	49^3 = 117,649	59^3 = 205,379
10^3 = 1000	20^3 = 8000	30^3 = 27,000	40^3 = 64,000	50^3 = 125,000	60^3 = 216,000

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός m είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν m κύβοι (ενν. στερεά) με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 3³ = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

n³ − (n − 1)³ = 3(n − 1)n + 1.

ή

(n + 1)³ − n³ = 3(n + 1)n + 1.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Στους ακεραίους

Το πρόβλημα του Waring για κύβους

Κύριο λήμμα: Πρόβλημα του Waring

Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για κύβους

Κύριο λήμμα: Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Η εξίσωση x³ + y³ = z³ δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για xyz ≠ 0) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.^{[1][N 1]}

Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση:^[2] x³ + y³ = 3z³.

Άθροισμα των πρώτων n κύβων

Το άθροισμα των πρώτων n κύβων είναι ο nστος τριγωνικός αριθμός^{[N 2]} στο τετράγωνο:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}\,}$

Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων y περιττών κύβων,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

όμως τα x και y πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$.

Παραδείγματα:

Για y = 5 έχουμε:

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}\,}$

και για 29,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός, εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων 2^(p−1)/2 περιττών κύβων:

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

Άθροισμα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο

Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των οποίων είναι κύβος:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

Οι κύβοι ως αθροίσματα διαδοχικών περιττών ακεραίων

Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 1³), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 2³), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 3³) και ούτω καθεξής.

Στους ρητούς

Κάθε θετικός ρητός αριθμός είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων,^[3] ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων.^[4]

Στους πραγματικούς αριθμούς

Γραφική παράσταση της f(x) = x³ στο καρτεσιανό επίπεδο

Η συνάρτηση f(x) = x³ είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη παράγωγός της είναι 3x².

Άθροισμα και διαφορά δύο κύβων

Κύριο λήμμα: Άθροισμα δύο κύβων

Το άθροισμα δύο κύβων μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})}$,

και η διαφορά τους ως

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)\cdot (x^{2}+xy+y^{2})}$.

Ιστορικό

Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (20ος - 16ος αιώνας π.Χ)^[5][6] ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων.^[7] Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.^[8]

Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης, ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ.^[9] Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.new algorithm^[10]

Σημειώσεις

1. Γνωστοί και ως ακέραιοι Eisenstein
2. Ο nοστός τριγωνικός αριθμός είναι: ${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}}$ Για παράδειγμα ${\displaystyle T_{3}=1+2+3=6}$

Παραπομπές

1. Hardy & Wright, Thm. 227
2. Hardy & Wright, Thm. 232
3. Hardy & Wright, Thm. 234
4. Hardy & Wright, Thm. 233
5. Cooke, Roger (8 Νοεμβρίου 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. σελ. 63. ISBN 978-1-118-46029-0. 
6. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. σελ. 306. ISBN 978-0-313-29497-6. 
7. Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
8. Smyly, J. Gilbart (1920). «Heron's Formula for Cube Root». Hermathena (Trinity College Dublin) 19 (42): 64–67. https://archive.org/details/sim_hermathena_1920_19_42/page/64. 
9. Crossley, John· W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. σελίδες 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0. 
10. http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/^{[νεκρός σύνδεσμος]}