Μοναδιαία βηματική συνάρτηση

Γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης.

Γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης με τον συμμετρικό ορισμό στο σημείο μηδέν.

Στα μαθηματικά, η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (ή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ή συνάρτηση Χέβισαϊντ) είναι η πραγματική συνάρτηση ${\displaystyle H}$ που ορίζεται ως εξής^{[1][2][3][4][5]}

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<0\\1&{\text{αν }}x\geq 0.\end{cases}}}$

Με άλλα λόγια η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή ${\displaystyle 0}$ για αρνητικούς αριθμούς και ${\displaystyle 1}$ για θετικούς ή το μηδέν.

Η συνάρτηση παίρνει το όνομά της από τον Όλιβερ Χέβισαϊντ και βρίσκει εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών όπως οι διαφορικές εξισώσεις, η επεξεργασία σήματος και η θεωρία πιθανοτήτων.

Ορισμοί

Πιο γενικά, ορίζεται για κάθε ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle H_{c}(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<c,\\1&{\text{αν }}x\geq c.\end{cases}}}$

Καμιά φορά, για λόγους συμμετρίας η συνάρτηση ορίζεται ως

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<0,\\{\tfrac {1}{2}}&{\text{αν }}x=0,\\1&{\text{αν }}x>0.\end{cases}}}$

Με αυτόν τον ορισμό, η ${\displaystyle H}$ ικανοποιεί ${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right)}$, όπου ${\displaystyle \mathrm {sgn} (x)}$ είναι η συνάρτηση προσήμου.

Παραπομπές

1. Χαλκιαδάκης, Μιχαήλ. «Ανάλυση τυχαίων σημάτων» (PDF). Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνείο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2023. 
2. Παρασκευάς, Μιχάλης. «Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου» (PDF). Τεχνολογικό εκπαιδευτικό ίδρυμα δυτικής Ελλάδας. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2023. 
3. Χαλιδιάς, Νίκος. «Μετασχηματισμοί Fourier και Laplace» (PDF). Εύδοξος. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2023. 
4. Μπιζανος, Κωνσταντίνος. «Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις» (PDF). Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2023. 
5. Σταυρακάκης, Νικόλαος Μ. «Διαφορικές εξισώσεις: Συνήθεις και μερικές» (PDF). Ν. Μ. Σταυρακάκης. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2023.