Μπεϋζιανή στατιστική

Η Μπεϋζιανή στατιστική^[1][2] είναι στατιστική η οποία βασίζεται στο θεώρημα Bayes και επιτρέπει την αναθεώρηση της αρχικής πιθανότητας ανάλογα με τα παρατηρηθέντα δεδομένα. Κατά την μπεϋζιανή στατιστική, το αντικείμενο της στατιστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων παραγωγής και διαχείρισης δεδομένων κατά τρόπο ενιαίο, επαγωγικό και μαθηματικά συνεπή^[3]. Αρχικά λαμβάνουμε μία κατανομή πιθανότητας η οποία βασίζεται στη γνώση μας για τις άγνωστες παραμέτρους πριν συλλεγούν δεδομένα. Σε δεύτερη φάση χρησιμοποιούμε τα δεδομένα που πήραμε από το πείραμα για να επανακαθορίσουμε την κατανομή αυτή^[4].

Θεώρημα Μπέυζ

Κύριο λήμμα: Θεώρημα Μπέυζ

Το θεώρημα Μπέυζ ορίστηκε μαθηματικά ως η ακόλουθη εξίσωση:^[5].

${\displaystyle \operatorname {P} (A|B)={\frac {\operatorname {P} (B|A)\cdot \operatorname {P} (A)}{\operatorname {P} (B)}},}$

όπου A και B είναι γεγονότα.

• P(A) και P(B) είναι οι πιθανότητες των A και B που είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.
• P(A | B), η υπό συνθήκη πιθανότητα, είναι η πιθανότητα του A δεδομένου του B να είναι αληθής.
• P(B | A), είναι η πιθανότητα του B δεδομένου του A να είναι αληθής.

Εισαγωγικό παράδειγμα

Σε ένα κουτί υπάρχει ένα εξάεδρο ζάρι και ένα τετράεδρο ζάρι. Επιλέγεται τυχαία ένα εκ των δύο ζαριών. Με το ζάρι που επιλέχθηκε γίνονται 5 ρίψεις. Το αποτέλεσμα της κάθε ρίψης καταγράφεται ως εξής:

• καταγράφεται η τιμή "1" αν το ζάρι φέρει 1
• καταγράφεται η τιμή "0" αν το ζάρι δεν φέρει 1

Το αποτέλεσμα που καταγράφηκε για τις 5 ρίψεις είναι 1,1,1,0,1. Αφού οριστεί μια τυχαία μεταβλητή "θ" οι τιμές της οποίας θα εκφράζουν το ζάρι που επιλέχθηκε να βρεθεί η εκ των προτέρων και η εκ των υστέρων κατανομή μάζας πιθανότητας της "θ"

• θ=1 αν επιλέχθηκε το εξάεδρο ζάρι
• θ=2 αν επιλέχθηκε το τετράεδρο ζάρι

Επειδή επιλέγεται τυχαία ένα από τα δύο ζάρια η εκ των προτέρων κατανομή μάζας πιθανότητας είναι p(θ)=0.5 Οι παρατηρήσεις είναι 1,1,1,0,1. Η συνάρτηση πιθανοφάνειας θα είναι (οι πέντε ρίψεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους άρα η πιθανότητα των παρατηρήσεων ισούται με το γινόμενο της πιθανότητας κάθε επιμέρους παρατήρησης.): P(B|A)= 5/7776 για θ=1 και 3/1024 για θ=2

Άρα η εκ των υστέρων κατανομή μάζας πιθανότητας είναι:

${\displaystyle \operatorname {P} (A|B)={\frac {\operatorname {P} (B|A)\cdot \operatorname {P} (A)}{\operatorname {P} (B)}}}$=

0,18 για θ=1 και 0,82 για θ=2

Άρα πολύ πιθανότερο να έχει επιλεγεί το τετράεδρο ζάρι.

Παραπομπές

1. «Μπεϋζιανή Στατιστική - Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης». 29 Νοεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 28 Μαρτίου 2024. 
2. «ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ – ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ». Ανακτήθηκε στις 28 Μαρτίου 2024. 
3. Ι. Σπηλιώτης, Γ. Κοκολάκης. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικής με Εφαρμογές. ΑΘΗΝΑ: Εκδόσεις Συμεών. ISBN 978-960-9400-28-2. 
4. «Στατιστική σκέψη» (PDF). ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. 
5. Στιούαρτ, A.· Ορντ, K. (1994). Αναλυτική Θεωρία Κένταλ στη Στατιστική: Τόμος I;Θεωρία Διανομής. Έντουαρντ Άρνολντ.