Πίνακας Χούρβιτς

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Χούρβιτς^[1], ή πίνακας Ρουθ-Χούρβιτς, στη μηχανική πίνακας σταθερότητας, είναι ένας δομημένος πραγματικός τετραγωνικός πίνακας που κατασκευάζεται με τους συντελεστές ενός πραγματικού πολυωνύμου.

Πίνακας Χούρβιτς και το κριτήριο ευστάθειας Χούρβιτς

Δηλαδή, δεδομένου ενός πραγματικού πολυωνύμου

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

ο ${\displaystyle n\times n}$ τετραγωνικός πίνακας

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

ονομάζεται πίνακας Χούρβιτς που αντιστοιχεί στο πολυώνυμο ${\displaystyle p}$. Το 1895 ο Άντολφ Χούρβιτς^[2] διαπίστωσε ότι ένα πραγματικό πολυώνυμο με ${\displaystyle a_{0}>0}$ είναι ευσταθές (δηλαδή όλες οι ρίζες του έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος) αν και μόνο αν όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα ${\displaystyle H(p)}$ είναι θετικά:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

και ούτω καθεξής. Οι ελάσσονες ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$ ονομάζονται ορίζουσες Χούρβιτς^[3]. Αντίστοιχα, αν ${\displaystyle a_{0}<0}$ τότε το πολυώνυμο είναι ευσταθές αν και μόνο αν οι κύριοι ελάσσονες έχουν εναλλασσόμενα πρόσημα ξεκινώντας με αρνητικό.

Σταθεροί πίνακες Χούρβιτς

Στη μηχανική και τη θεωρία ευστάθειας, ένας τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle A}$ ονομάζεται πίνακας Χούρβιτς αν κάθε ιδιοτιμή του ${\displaystyle A}$ έχει αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος, δηλαδή,

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

για κάθε ιδιοτιμή ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Ο ${\displaystyle A}$ ονομάζεται επίσης σταθερός πίνακας^[4], διότι τότε η διαφορική εξίσωση

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

είναι ασυμπτωτικά σταθερό, δηλαδή ${\displaystyle x(t)\to 0}$ καθώς ${\displaystyle t\to \infty .}$

Αν ${\displaystyle G(s)}$ είναι μια συνάρτηση μεταφοράς (με τιμές πίνακα), τότε η ${\displaystyle G}$ ονομάζεται Χούρβιτς αν οι πόλοι όλων των στοιχείων της ${\displaystyle G}$ έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Ας σημειωθεί ότι δεν είναι απαραίτητο ο ${\displaystyle G(s),}$ για ένα συγκεκριμένο όρισμα ${\displaystyle s,}$ να είναι πίνακας Χούρβιτς - δεν χρειάζεται καν να είναι τετραγωνικός. Η σύνδεση είναι ότι αν ο ${\displaystyle A}$ είναι ένας πίνακας Χούρβιτς , τότε το δυναμικό σύστημα

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

διαθέτει συνάρτηση μεταφοράς Χούρβιτς.

Κάθε υπερβολικό σταθερό σημείο (ή σημείο ισορροπίας) ενός συνεχούς δυναμικού συστήματος είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές^[5] αν και μόνο αν η Ιακωβιανή του δυναμικού συστήματος είναι ευσταθής κατά Χούρβιτς στο σταθερό σημείο.

Ο πίνακας ευστάθειας Χούρβιτς είναι ένα κρίσιμο μέρος της θεωρίας ελέγχου. Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν ο πίνακας ελέγχου του είναι πίνακας Χούρβιτς. Οι αρνητικές πραγματικές συνιστώσες των ιδιοτιμών του πίνακα αντιπροσωπεύουν την αρνητική ανατροφοδότηση. Αντίστοιχα, ένα σύστημα είναι εγγενώς ασταθές εάν οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές έχει θετικές πραγματικές συνιστώσες, που αντιπροσωπεύουν θετική ανατροφοδότηση.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Δυναμικό σύστημα
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Control Theory Methods in Economics
• Mathematical Demoeconomy: Integrating Demographic and Economic Approaches
• Compositions of Quadratic Forms, Τόμος 33
• Stability of Dynamical Systems
• Stability Theory: Hurwitz Centenary Conference Centro Stefano Franscini ...

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices ${\displaystyle px=xq}$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Seberry, J.; Wysocki, B.; Wysocki, T. (2005). «On some applications of Hadamard matrices». Metrika 62 (2–3): 221–239. doi:10.1007/s00184-005-0415-y. https://ro.uow.edu.au/infopapers/595. 
• Asner, Bernard A. Jr. (1970). «On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix». SIAM Journal on Applied Mathematics 18 (2): 407–414. doi:10.1137/0118035. 
• Dimitrov, Dimitar K.; Peña, Juan Manuel (2005). «Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials». Journal of Approximation Theory 132 (2): 212–223. doi:10.1016/j.jat.2004.10.010. 
• Gantmacher, F. R. (1959). Applications of the Theory of Matrices. New York: Interscience. 
• Hurwitz, A. (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt». Mathematische Annalen 46 (2): 273–284. doi:10.1007/BF01446812. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002255472. 
• Khalil, Hassan K. (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall. 
• Lehnigk, Siegfried H. (1970). «On the Hurwitz matrix». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 21 (3): 498–500. doi:10.1007/BF01627957. Bibcode: 1970ZaMP...21..498L. 

Παραπομπές

1. «Hurwitz matrix». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2024. 
2. «Adolf Hurwitz - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2024. 
3. Wall, H. S. (1945). «Polynomials Whose Zeros Have Negative Real Parts». The American Mathematical Monthly 52 (6): 308–322. doi:10.2307/2305291. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2305291. 
4. Weisstein, Eric W. «Stability Matrix». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2024. 
5. Stability of Motion. 

• Robert Stawell Ball (1871) Experimental Mechanics from Google books.
• Landau, L. D.· Lifshitz, E. M. (1972). Mechanics and Electrodynamics, Vol. 1. Franklin Book Company, Inc. ISBN 978-0-08-016739-8. 
• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5, https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6