Πίνακας από μονάδες

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας από μονάδες είναι ο πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι μονάδες ${\displaystyle 1}$.^[1] Για παράδειγμα, οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες από μονάδες διαφορετικών διαστάσεων,

${\displaystyle J_{2}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}} _{2\times 2},\quad J_{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}} _{2\times 3},\quad J_{3}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}} _{3\times 3},\quad J_{4}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}} _{4\times 4}.}$

Για την ειδική περίπτωση που ο πίνακας έχει την μορφή διανύσματος γραμμής ή στήλης, λέγεται διάνυσμα από μονάδες. Για παράδειγμα,

${\displaystyle J_{1,3}={\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3,1}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}},\quad J_{1,4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{4,1}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}.}$

Ιδιότητες

Για τον τετραγωνικό πίνακα από μονάδες ${\displaystyle J_{n}}$ ισχύει ότι:

• Είναι συμμετρικός.
• Το ίχνος του ${\displaystyle J_{n}}$ ικανοποιεί ${\displaystyle \operatorname {tr} (J_{n})=n}$.
• Η ορίζουσα του ${\displaystyle J_{n}}$ ικανοποιεί

${\displaystyle \operatorname {det} (J_{n})={\begin{cases}1&{\text{αν }}n=1\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}}$

• Η τάξη του ${\displaystyle J_{n}}$ είναι ${\displaystyle \operatorname {rank} (J_{n})=1}$.
• Ο ${\displaystyle J_{n}}$ έχει ιδιοδιάνυσμα ${\displaystyle J_{n,1}}$ με ιδιοτιμή ${\displaystyle 1}$. Από το θεώρημα rank-nullity προκύπτει ότι η ιδιοτιμή ${\displaystyle 0}$ έχει πολλαπλότητα ${\displaystyle n-1}$.
• Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι ${\displaystyle p_{J_{n}}(x)=x^{n-1}\cdot (x-1)}$.
• Ο πίνακας ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n}}$ είναι ταυτοδύναμος, καθώς για κάθε διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ισχύει ότι ${\textstyle \mathbf {x} ^{T}J_{n}\mathbf {x} =\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\geq 0}$.
• Για κάθε φυσικό αριθμό ${\displaystyle k\geq 1}$, οι δυνάμεις του πίνακα δίνονται από ${\displaystyle J_{n}^{k}=n^{k-1}J_{n}}$.
• Από την σχέση ${\displaystyle J_{n}^{2}=nJ_{n}}$ προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι ${\displaystyle p_{J_{n}}(x)=x^{2}-nx}$.

Δείτε επίσης

• Μηδενικός πίνακας
• Ταυτοτικός πίνακας

Παραπομπές

1. Χριστόπουλος, Δημήτριος. «Γραμμική άλγεβρα με το MATLAB» (PDF). Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουλίου 2023.