Παραστατική γεωμετρία

Παράδειγμα τεσσάρων διαφορετικών 2D αναπαραστάσεων του ίδιου 3D αντικειμένου.

Η παραστατική γεωμετρία[1] αποτελεί κλάδο των εφαρμοσμένων Μαθηματικών που σκοπό έχει τη γραφική επίλυση (με κανόνα και διαβήτη) προβλημάτων που ανάγονται σε στερεά σχήματα. Ακολουθεί την εξής μέθοδο: αντικαθιστά τα στερεά σχήματα με τις προβολές τους σε δύο ή τρία επίπεδα, καλούμενα προβολικά, σε τρόπο ώστε, αναγόμενα στο χώρο, να χρησιμοποιούνται επί αυτών γνωστές γραφικές μέθοδοι.

Από καθαρή μαθηματική άποψη η παραστατική γεωμετρία δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Αντίθετα όμως είναι πάρα πολύ χρήσιμη, αφού αποτελεί τη βάση όλων των τεχνικών σχεδιάσεων,[2] ιδιαίτερα στην αρχιτεκτονική, τη μηχανολογία, τη ναυπηγική και την αεροναυπηγική.

Ευρετικές μέθοδοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μελέτη της περιγραφικής γεωμετρίας έχει ευρετική αξία. Προωθεί την οπτικοποίηση και τις χωρικές αναλυτικές ικανότητες, καθώς και τη διαισθητική ικανότητα αναγνώρισης της κατεύθυνσης θέασης για την καλύτερη παρουσίαση ενός γεωμετρικού προβλήματος προς επίλυση. Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα[3]:

Η καλύτερη κατεύθυνση προβολής

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Δύο Ασύμβατες ευθείες (σωλήνες, ίσως) σε γενικές θέσεις προκειμένου να προσδιοριστεί η θέση του συντομότερου συνδετικού τους σημείου (κοινή κάθετη)
  • Δύο Ασύμβατες ευθείες(σωλήνες) σε γενικές θέσεις έτσι ώστε ο συντομότερος σύνδεσμός τους να φαίνεται σε πλήρη κλίμακα
  • Δύο Ασύμβατες ευθείες σε γενικές θέσεις έτσι ώστε ο συντομότερος σύνδεσμος που είναι παράλληλος σε ένα δεδομένο επίπεδο να φαίνεται σε πλήρη κλίμακα (π.χ. για να προσδιοριστεί η θέση και η διάσταση του συντομότερου συνδέσμου σε σταθερή απόσταση από μια ακτινοβολούσα επιφάνεια)
  • Μια επίπεδη επιφάνεια ώστε μια οπή που ανοίγεται κάθετα να φαίνεται σε πλήρη κλίμακα, σαν να κοιτάζει μέσα από την οπή (π.χ. για να ελεγχθούν οι αποστάσεις με άλλες οπές)
  • Ένα επίπεδο που ισαπέχει από δύο λοξές γραμμές σε γενικές θέσεις (π.χ. για να επιβεβαιωθεί η ασφαλής απόσταση ακτινοβολίας;)
  • Η συντομότερη απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο (π.χ. για τον εντοπισμό της οικονομικότερης θέσης για αντιστήριξη)
  • Η γραμμή τομής μεταξύ δύο επιφανειών, συμπεριλαμβανομένων των καμπύλων επιφανειών (π.χ. για την οικονομικότερη διαστασιολόγηση των τμημάτων;)
  • Το πραγματικό μέγεθος της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων

Κανένα πρότυπο δεν έχει ακόμη υιοθετηθεί για την παρουσίαση των όψεων μοντελοποίησης με υπολογιστή κατά τρόπο παρόμοιο με τις ορθογραφικές και τις διαδοχικές προβολές. Οι παρακάτω απεικονίσεις προτείνουν ένα τέτοιο πρότυπο. Οι εικόνες στις απεικονίσεις δημιουργήθηκαν με τρισδιάστατη μοντελοποίηση σε υπολογιστή.

Η τρισδιάστατη ηλεκτρονική μοντελοποίηση παράγει έναν εικονικό χώρο «πίσω από το σωλήνα», κατά κάποιο τρόπο, και μπορεί να παράγει οποιαδήποτε άποψη ενός μοντέλου από οποιαδήποτε κατεύθυνση μέσα σε αυτόν τον εικονικό χώρο. Αυτό το κάνει χωρίς την ανάγκη για παρακείμενες ορθογραφικές όψεις και, επομένως, μπορεί να φαίνεται ότι καθιστά το πρωτόκολλο κλιμάκων της περιγραφικής γεωμετρίας παρωχημένο. Ωστόσο, δεδομένου ότι η περιγραφική γεωμετρία είναι η επιστήμη της νόμιμης ή έγκυρης απεικόνισης του τρισδιάστατου ή πολυδιάστατου χώρου σε ένα επίπεδο επίπεδο, είναι μια απαραίτητη μελέτη για τη βελτίωση των δυνατοτήτων της μοντελοποίησης στον υπολογιστή.

Παραδείγματα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εύρεση του συντομότερου συνδέσμου μεταξύ δύο δοσμένων λοξών γραμμών PR και SU

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παράδειγμα χρήσης της περιγραφικής γεωμετρίας για την εύρεση του συντομότερου συνδέσμου μεταξύ δύο λοξών γραμμών. Οι κόκκινες, κίτρινες και πράσινες επισημάνσεις δείχνουν τις αποστάσεις που είναι ίδιες για τις προβολές του σημείου P.

Δεδομένων των συντεταγμένων X, Y και Z των σημείων P, R, S και U, οι προβολές 1 και 2 σχεδιάζονται υπό κλίμακα στο επίπεδο X-Y και X-Z, αντίστοιχα.[4]

Για να έχετε μια πραγματική άποψη (το μήκος στην προβολή είναι ίσο με το μήκος στον τρισδιάστατο χώρο) μιας από τις γραμμές: SU σε αυτό το παράδειγμα, η προβολή 3 σχεδιάζεται με τη γραμμή άρθρωσης H2,3 παράλληλη προς την S2U2. Για να λάβουμε μια τελική άποψη της SU, η προβολή 4 σχεδιάζεται με γραμμή άρθρωσης H3,4 κάθετη στην S3U3. Η κάθετη απόσταση d δίνει τη μικρότερη απόσταση μεταξύ PR και SU.

Για να βρεθούν τα σημεία Q και T σε αυτές τις γραμμές που δίνουν αυτή τη συντομότερη απόσταση, η προβολή 5 σχεδιάζεται με την ευθεία άρθρωσης H4,5 παράλληλη προς την P4R4, καθιστώντας τόσο την S5U5 όσο και την S5U5 αληθείς προβολές (κάθε προβολή μιας τελικής προβολής είναι αληθής προβολή). Η προβολή της τομής αυτών των γραμμών, Q5 και T5 πίσω στην προβολή 1 (πορφυρές γραμμές και ετικέτες) επιτρέπει την ανάγνωση των συντεταγμένων τους από τους άξονες X, Y και Z.

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ «ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης» (PDF). 
  2. ↑ Joseph Malkevitch (April 2003), «Mathematics and Art», Feature Column Archive (American Mathematical Society), https://www.ams.org/featurecolumn/archive/art1.html 
  3. ↑ Sabry, Fouad (5 Μαΐου 2024). Descriptive Geometry: Unlocking the Visual Realm: Exploring Descriptive Geometry in Computer Vision. One Billion Knowledgeable. 
  4. ↑ Barbin, Évelyne· Menghini, Marta (1 Ιουλίου 2019). Descriptive Geometry, The Spread of a Polytechnic Art: The Legacy of Gaspard Monge. Springer. ISBN 978-3-030-14808-9.