Πεπερασμένο σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένα πεπερασμένο σύνολο είναι ένα σύνολο ${\displaystyle S}$ για το οποίο υπάρχει φυσικός αριθμός ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ και 1-1 και επί συνάρτηση ${\displaystyle f:S\to \{1,2,\ldots ,n\}}$ ή είναι το κενό σύνολο.^[1][2][3] Ο αριθμός ${\displaystyle n}$ είναι ο πληθάριθμος του συνόλου και συμβολίζεται ως ${\displaystyle |S|}$.

Για παράδειγμα, τα παρακάτω σύνολα είναι πεπερασμένα

• ${\displaystyle S_{1}=\{1,2,3\}}$,
• ${\displaystyle S_{2}=\{2,4,6,8\}}$,
• ${\displaystyle S_{3}=\emptyset }$,

ενώ τα σύνολα των φυσικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ακεραίων αριθμών ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ και των πραγματικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {R} }$ είναι μη-πεπερασμένα.

Σε ένα πεπερασμένο σύνολο τα στοιχεία του μπορούν να απαριθμηθούν ως ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$.

Ιδιότητες

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα ${\displaystyle S_{1}}$ και ${\displaystyle S_{2}}$ ισχύει από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ότι

${\displaystyle |S_{1}\cup S_{2}|=|S_{1}|+|S_{2}|-|S_{1}\cap S_{2}|}$.

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα ${\displaystyle S_{1}}$ και ${\displaystyle S_{2}}$ το καρτεσιανό τους γινόμενο ${\displaystyle S_{1}\times S_{2}}$, ικανοποιεί

${\displaystyle |S_{1}\times S_{2}|=|S_{1}|\cdot |S_{2}|}$.

• Το δυναμοσύνολο ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ του ${\displaystyle S}$ έχει ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}}$ στοιχεία.
• Κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι αριθμήσιμο.

Παραπομπές

1. Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος. «Διακριτά Μαθηματικά». Κάλλιπος. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2023. 
2. Φωτάκης, Δ. «Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού» (PDF). Εθνικό Μετσόβιο Πανεπιστήμιο. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2023. 
3. Πέρρος, Γ. Π. «Σύνολα και αριθμοί: Μία περιήγηση στα θεμέλια των μαθηματικών» (PDF). Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2023.