Περί ελίκων

Η σπείρα του Αρχιμήδη

Το έργο Περί ελίκων είναι μια πραγματεία του Αρχιμήδη, γραμμένη γύρω στο 225 π.Χ.[1] Ειδικότερα, ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την Αρχιμήδεια σπείρα σε αυτό το βιβλίο για τον τετραγωνισμό του κύκλου και την τριχοτόμηση της γωνίας.[2]

Περιεχόμενο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόλογος

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Αρχιμήδης αρχίζει το Περί ελίκων με ένα μήνυμα προς τον Δοσίθεο από το Πελούσιο που αναφέρεται στο θάνατο του Κόνωνα ως απώλεια για τα μαθηματικά. Στη συνέχεια, παρουσιάζει περιληπτικά τα αποτελέσματα των εργασιών Περί σφαίρας και κυλίνδρου και Περὶ κωνοειδέων και σφαιροειδέων. Συνεχίζει με την αναφορά των αποτελεσμάτων του Περί ελίκων.

Παράδειγμα του πώς ο Αρχιμήδης τριχοτόμησε μια γωνία στο Περί ελίκων'.

Σπείρα του Αρχιμήδη

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο άρθρο: Σπείρα του Αρχιμήδη

Η σπείρα του Αρχιμήδη μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον Κόνωνα και αργότερα μελετήθηκε από τον Αρχιμήδη στο έργο του Περί ελίκων. Ο Αρχιμήδης μπόρεσε να βρει διάφορες εφαπτόμενες στη σπείρα [1] τις οποίες όρισε ως εξής:

Αν μια ευθεία γραμμή, της οποίας το ένα άκρο παραμένει σταθερό, περιστραφεί με ομοιόμορφο ρυθμό σε ένα επίπεδο μέχρι να επιστρέψει στη θέση από την οποία ξεκίνησε, και αν, ταυτόχρονα με την περιστροφή της ευθείας γραμμής, ένα σημείο κινείται με ομοιόμορφο ρυθμό κατά μήκος της ευθείας γραμμής, ξεκινώντας από το σταθερό άκρο, το σημείο θα περιγράψει μια σπείρα στο επίπεδο[3].
Ο κύκλος και το τρίγωνο έχουν ίσο εμβαδόν.

Τριχοτόμηση γωνίας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κατασκευή για το πώς ο Αρχιμήδης τριχοτόμησε τη γωνία έχει ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να τριχοτομηθεί η γωνία ABC. Τριχοτομήστε το τμήμα BC και βρείτε ότι το BD είναι το ένα τρίτο του BC. Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο το Β και ακτίνα το BD. Ας υποθέσουμε ότι ο κύκλος με κέντρο Β τέμνει τη σπείρα στο σημείο Ε. Η γωνία ΑΒΕ είναι το ένα τρίτο της γωνίας ΑΒC[4].

Τετραγωνισμός του κύκλου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για να τετραγωνίσει τον κύκλο, ο Αρχιμήδης έδωσε την ακόλουθη κατασκευή:

Έστω P το σημείο της σπείρας όταν αυτή έχει ολοκληρώσει μία στροφή. Έστω ότι η εφαπτομένη στο P τέμνει την κάθετη στην OP ευθεία στο T. OT είναι το μήκος της περιφέρειας του κύκλου με ακτίνα OP.

Ο Αρχιμήδης είχε ήδη αποδείξει ως πρώτη πρόταση της Μέτρησης ενός κύκλου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει τα μήκη των ποδιών του ίσα με την ακτίνα του κύκλου και την περιφέρεια του κύκλου. Έτσι, το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα OP είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου OPT[5]

Δημοσιεύσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
  • Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
  • Dimulyo, Sarpono; Habib, Zulfiqar; Sakai, Manabu (2009). «Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other». Numerical Algorithms 51 (4): 461–476. doi:10.1007/s11075-008-9252-1. Bibcode: 2009NuAlg..51..461D. 
  • Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [1] Αρχειοθετήθηκε 2015-11-22 στο Wayback Machine..
  • Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [2].
  • Wang, Yulin; Zhao, Bingyan; Zhang, Luzou; Xu, Jiachuan; Wang, Kanchang; Wang, Shuchun (2004). «Designing fair curves using monotone curvature pieces». Computer Aided Geometric Design 21 (5): 515–527. doi:10.1016/j.cagd.2004.04.001. 
  • Kurnosenko, A. (2010). «Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data». Computer Aided Geometric Design 27 (3): 262–280. doi:10.1016/j.cagd.2009.12.004. 
  • A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474–481, 2010.
  • Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [3] Αρχειοθετήθηκε 2013-06-28 στο Wayback Machine..

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ 1,0 1,1 Weisstein, Eric W., "Archimedes' Spiral" από το MathWorld.
  2. ↑ «Trisecting the Angle». web.archive.org. 27 Δεκεμβρίου 2009. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Δεκεμβρίου 2009. Ανακτήθηκε στις 16 Οκτωβρίου 2024. 
  3. ↑ Heath, Thomas Little (1921), A History of Greek Mathematics, Boston: Adamant Media Corporation, σελ. 64, ISBN 0-543-96877-4, https://books.google.com/books?id=zGIYbEtzD-QC, ανακτήθηκε στις 2008-08-20 
  4. ↑ Tokuda, Naoyuki; Chen, Liang (1999-03-18), Trisection Angles, Utsunomiya University, Utsunomiya, Japan, σελ. 5–6, http://azalea.sunflare.co.jp/rd_dir/papers/trisection-ENG.pdf, ανακτήθηκε στις 2008-08-20 
  5. ↑ «History topic: Squaring the circle». Ανακτήθηκε στις 20 Αυγούστου 2008.