Πολλαπλασιασμός πινάκων

Για τον πολλαπλασιασμό πινάκων, ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Ο πίνακας που προκύπτει έχει το ίδιο πλήθος γραμμών με τον πρώτο πίνακα και τόσες στήλες όσες και ο δεύτερος πίνακας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, όπου ${\displaystyle m}$ οι γραμμές και ${\displaystyle n}$ οι στήλες του πρώτου πίνακα (A), ενώ ${\displaystyle p}$ οι στήλες του δεύτερου πίνακα (B), ισχύει ότι: ${\displaystyle m\times n\cdot n\times p=m\times p}$

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη γραμμική άλγεβρα, ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μια δυαδική πράξη με την οποία δύο πίνακες συνδυάζονται για την παραγωγή ενός τρίτου πίνακα. Για τον πολλαπλασιασμό πινάκων, το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα πίνακα πρέπει να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας, γνωστός και ως γινόμενο πινάκων, έχει τον αριθμό των σειρών του πρώτου και τον αριθμό των στηλών του δεύτερου πίνακα. Το γινόμενο των πινάκων A και B συμβολίζεται ως AB.^[1]

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι ένα βασικό εργαλείο της γραμμικής άλγεβρας με πολυάριθμες εφαρμογές σε πλήθος τομέων των μαθηματικών, όπως τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και η στατιστική, αλλά και στη φυσική, τα οικονομικά και τη μηχανική.^[2][3] Ως τεχνική, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Ζακ Φιλίπ Μαρί Μπινέ (Jacques Philippe Marie Binet) το 1812^[4] για την αναπαράσταση της σύνθεσης γραμμικών απεικονίσεων που αποδίδονταν με πίνακες. Ο υπολογισμός των γινομένων πινάκων είναι κομβική διαδικασία όλων των υπολογιστικών διαδικασιών της γραμμικής άλγεβρας.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα στοιχεία των πολλαπλασιαζόμενων πινάκων είναι αριθμοί, ωστόσο μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε είδος μαθηματικών αντικειμένων για τα οποία ορίζεται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός, ούτως ώστε να ισχύουν η αντιμεταθετική, η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα.^[5]

Συμβολισμοί

Για αυτό το άρθρο χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες συμβολικές συμβάσεις. Καταρχάς, οι πίνακες συμβολίζονται με έντονα κεφαλαία γράμματα, π.χ. A. Ακόμα, τα διανύσματα αποδίδονται με έντονους πεζούς χαρακτήρες, π.χ. a, και οι τιμές που καταχωρούνται στους πίνακες ή τα διανύσματα συμβολίζονται με πλάγια γράμματα, π.χ. A και a. Το στοιχείο της σειράς i και στήλης j ενός πίνακα A συμβολίζεται με (A)_ij, ή A_ij, ή a_ij . Τέλος, με μονό δείκτη συμβολίζονται οι διάφοροι πίνακες, π.χ A₁, A₂.

Ορισμός

Έστω A ένας πίνακας m × n και B ένας πίνακας n × p ,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}$

Τότε, το γινόμενο πινάκων, C = AB, (συμβολίζεται χωρίς σημεία πολλαπλασιασμού) ορίζεται ως ο πίνακας m × p^[6][7][8][9]

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}}$

ούτως ώστε να ισχύει ότι

${\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},}$

για i = 1, ..., m και j = 1, ..., p .

Συνεπώς, το στοιχείο ${\displaystyle c_{ij}}$ του γινομένου προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό όρου με όρο των τιμών της ${\displaystyle i}$-οστής σειράς A με της τιμές της ${\displaystyle j}$-οστής στήλης του B, και το άθροισμα των n αυτών γινομένων. Με άλλα λόγια, το ${\displaystyle c_{ij}}$ είναι το εσωτερικό γινόμενο της ${\displaystyle i}$-οστής σειράς A επί τη ${\displaystyle j}$-οστή στήλη του B.

Επομένως, το AB μπορεί επίσης να γραφτεί ως

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}}$

Άρα, το γινόμενο AB ορίζεται αν και μόνο αν ο αριθμός των στηλών του A ισούται με τον αριθμό των γραμμών του B (εδώ n).^[10]

Πρακτική επεξήγηση

Πρακτική επεξήγηση του πολλαπλασιασμού πινάκων· τα στοιχεία που σημειώνονται με χρωματιστούς κύκλους προκύπτουν από το εσωτερικό γινόμενο των αντίστοιχων γραμμών του πρώτου και στηλών του δεύτερου πίνακα

Το σχήμα στα δεξιά απεικονίζει διαγραμματικά το γινόμενο δύο πινάκων A και B, δείχνοντας πώς κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει αντιστοιχεί σε μια γραμμή του A και μια στήλη του B . Το αντίστοιχο του σχήματος με όρους γραμμικής άλγεβρας δίνεται ως εξής:

$${\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\\cdot &\cdot \\{a_{31}}&{a_{32}}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &{b_{12}}&{b_{13}}\\\cdot &{b_{22}}&{b_{23}}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&c_{13}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &c_{32}&c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}$$

Τα στοιχεία που σημειώνονται με κύκλους στο σχήμα προκύπτουν από το εσωτερικό γινόμενο των αντιστοίχων γραμμών του A [${\displaystyle (a_{11},a_{12}),(a_{31},a_{32})}$] και στηλών του B [${\displaystyle (b_{12},b_{22})^{T},(b_{13},b_{23})^{T}}$]:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{12}&={a_{11}}{b_{12}}+{a_{12}}{b_{22}}\\c_{33}&={a_{31}}{b_{13}}+{a_{32}}{b_{23}}\end{aligned}}}$$

Δείτε επίσης

• Διανυσματικό γινόμενο

Παραπομπές

1. Nykamp, Duane. «Multiplying matrices and vectors». Math Insight (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Σεπτεμβρίου 2020. 
2. Lerner, R. G.· Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (στα Αγγλικά) (2nd έκδοση). VHC publishers. ISBN 978-3-527-26954-9. 
3. Parker, C. B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (στα Αγγλικά) (2nd έκδοση). ISBN 978-0-07-051400-3. 
4. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Jacques Philippe Marie Binet» (στα Αγγλικά), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
5. Avner, Ash (2008). Chapter 10. Matrices (στα Αγγλικά). Princeton University Press. σελίδες 114–123. ISBN 978-1-4008-3777-9. 
6. Lipschutz, S.· Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (στα Αγγλικά) (4th έκδοση). McGraw Hill (USA). σελίδες 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1. 
7. Riley, K. F.· Hobson, M. P. (2010). Mathematical methods for physics and engineering (στα Αγγλικά). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
8. Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (στα Αγγλικά) (3rd έκδοση). Addison Wesley. σελ. 627. ISBN 0-201-82823-5. 
9. Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (στα Αγγλικά) (2nd έκδοση). Cambridge University Press. σελ. 6. ISBN 978-0-521-54823-6. 
10. Nykamp, Duane. «Multiplying matrices and vectors». Math Insight (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Σεπτεμβρίου 2020. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Πολλαπλασιασμός πινάκων