Πολυμορφοκλασματικό σύστημα

Ένας παράξενος ελκυστής που παρουσιάζει πολυκμορφολασματική κλιμάκωση

Παράδειγμα μιας πολυμορφοκλασματικής ηλεκτρονικής ιδιοκαταστάσεως στη μετάβαση εντοπισμού Άντερσον σε ένα σύστημα με 1367631 άτομα.

Ένα πολυμορφοκλασματικό σύστημα είναι μια γενίκευση ενός μορφοκλασματικού συστήματος στο οποίο ένας μόνο εκθέτης (η μορφοκλασματική διάσταση) δεν είναι αρκετός για να περιγράψει τη δυναμική του, αλλά απαιτείται ένα συνεχές φάσμα εκθετών (το λεγόμενο φάσμα ιδιομορφίας^[1])^[2].

Τα πολυμορφοκλασματικά συστήματα είναι κοινά στη φύση. Περιλαμβάνουν το μήκος των ακτογραμμών, την τοπογραφία των βουνών,^[3] την πλήρως ανεπτυγμένη τύρβη, σκηνές του πραγματικού κόσμου, τη δυναμική των καρδιακών παλμών,^[4] το ανθρώπινο βάδισμα^[5] και τη δραστηριότητα,^[6] τη δραστηριότητα του ανθρώπινου εγκεφάλου,^{[7][8][9][10][11][12][13]} και τις χρονοσειρές φυσικής φωτεινότητας^[14]. Πρότυπα έχουν προταθεί σε διάφορα πλαίσια που κυμαίνονται από την τύρβη στη δυναμική των ρευστών μέχρι την κυκλοφορία στο διαδίκτυο, τα οικονομικά, τη μορφοποίηση εικόνων, τη σύνθεση υφών, τη μετεωρολογία, τη γεωφυσική κτλ. Η προέλευση της πολυφρακταλικότητας σε διαδοχικά δεδομένα (χρονοσειρές) έχει αποδοθεί σε μαθηματικά φαινόμενα σύγκλισης που σχετίζονται με το κεντρικό οριακό θεώρημα και έχουν ως εστίες σύγκλισης την οικογένεια στατιστικών κατανομών που είναι γνωστή ως πρότυπα εκθετικής διασποράς Tweedie^[15], καθώς και τα γεωμετρικά πρότυπα Tweedie^[16]. Το πρώτο φαινόμενο σύγκλισης παράγει μονοφρακταλικές ακολουθίες και το δεύτερο φαινόμενο σύγκλισης είναι υπεύθυνο για τη μεταβολή της μορφοκλασματικής διάστασης των μονοφρακταλικών ακολουθιών ^[17].

Η πολυμορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιείται για τη διερεύνηση συνόλων δεδομένων, συχνά σε συνδυασμό με άλλες μεθόδους μορφοκλασματικής και ελλειμματικής ανάλυσης. Η τεχνική περιλαμβάνει την παραμόρφωση συνόλων δεδομένων που εξάγονται από πρότυπα για τη δημιουργία πολυμορφοκλασματικών φασμάτων που απεικονίζουν τον τρόπο με τον οποίο η κλίμακα μεταβάλλεται στο σύνολο δεδομένων. Η πολυμορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιήθηκε για την αποκρυπτογράφηση των κανόνων δημιουργίας και των λειτουργιών πολύπλοκων δικτύων^[18]. Οι τεχνικές πολυμορφοκλασματικής ανάλυσης εφαρμόστηκαν σε διάφορες πρακτικές καταστάσεις, όπως η πρόβλεψη σεισμών και η ερμηνεία ιατρικών εικόνων^[19][20][21].

Ορισμός

Σε ένα πολυκλασματικό σύστημα ${\displaystyle s}$, η συμπεριφορά γύρω από οποιοδήποτε σημείο περιγράφεται από έναν τοπικό νόμο ισχύος:

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

Ο εκθέτης ${\displaystyle h({\vec {x}})}$ ονομάζεται εκθέτης ιδιομορφίας, καθώς περιγράφει τον τοπικό βαθμό ιδιομορφίας ή κανονικότητας γύρω από το σημείο ${\displaystyle {\vec {x}}}$.^[22]

Το σύνολο που σχηματίζεται από όλα τα σημεία που μοιράζονται τον ίδιο εκθέτη ιδιομορφίας ονομάζεται πολλαπλότητα ιδιομορφίας εκθέτη h, και είναι ένα σύνολο φράκταλ με διάσταση φράκταλ ${\displaystyle D(h):}$ το φάσμα ιδιομορφίας. Η καμπύλη ${\displaystyle D(h)}$ συναρτήσει του ${\displaystyle h}$ ονομάζεται φάσμα ιδιομορφίας και περιγράφει πλήρως τη στατιστική κατανομή της μεταβλητής ${\displaystyle s}$.

Στην πράξη, η πολυμορφοκλασματική συμπεριφορά ενός φυσικού συστήματος ${\displaystyle X}$ δεν χαρακτηρίζεται άμεσα από το φάσμα ιδιομορφίας του ${\displaystyle D(h)}$. Αντίθετα, η ανάλυση των δεδομένων δίνει πρόσβαση στους εκθέτες πολυδιασταλτικότητας ${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$. Πράγματι, τα πολυδιάστατα σήματα υπακούουν γενικά σε μια ιδιότητα αναλλοίωτης κλίμακας που αποδίδει συμπεριφορές νόμου δύναμης για τις ποσότητες πολλαπλής ανάλυσης, ανάλογα με την κλίμακα τους ${\displaystyle a}$. Ανάλογα με το υπό μελέτη αντικείμενο, αυτές οι ποσότητες πολλαπλής ανάλυσης, που συμβολίζονται με ${\displaystyle T_{X}(a)}$, μπορεί να είναι τοπικές μέσες τιμές σε κουτιά μεγέθους ${\displaystyle a}$, κλίσεις σε απόσταση ${\displaystyle a}$, συντελεστές wavelet σε κλίμακα ${\displaystyle a}$, κ.λπ. Για πολυμορφοκλασματικά αντικείμενα, παρατηρείται συνήθως μια παγκόσμια κλιμάκωση νόμου δύναμης της μορφής:

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

τουλάχιστον σε κάποιο εύρος κλιμάκων και για κάποιο εύρος τάξεων ${\displaystyle q}$. Όταν παρατηρείται μια τέτοια συμπεριφορά, μιλάμε για αναλλοίωτη κλίμακα, αυτοομοιότητα ή πολυκλιμάκωση.^[23]

Εκτίμηση

Χρησιμοποιώντας τον λεγόμενο πολυμορφοκλασματικό φορμαλισμό, μπορεί να αποδειχθεί ότι, κάτω από ορισμένες κατάλληλες υποθέσεις, υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ του φάσματος ιδιομορφίας ${\displaystyle D(h)}$ και των εκθετών πολλαπλής κλιμάκωσης ${\displaystyle \zeta (q)}$ μέσω ενός μετασχηματισμού Λεζάντρ. Ενώ ο προσδιορισμός του ${\displaystyle D(h)}$ απαιτεί κάποια εξαντλητική τοπική ανάλυση των δεδομένων, η οποία θα οδηγούσε σε δύσκολους και αριθμητικά ασταθείς υπολογισμούς, η εκτίμηση του ${\displaystyle \zeta (q)}$ βασίζεται στη χρήση στατιστικών μέσων όρων και γραμμικών παλινδρομήσεων σε log-log διαγράμματα. Μόλις γίνει γνωστή η ${\displaystyle \zeta (q)}$, μπορεί να εξαχθεί μια εκτίμηση της ${\displaystyle D(h),}$ χάρη σε έναν απλό μετασχηματισμό Λεζάντρ.

Τα πολυμορφοκλασματικά συστήματα προσομοιώνονται συχνά με στοχαστικές διαδικασίες, όπως οι πολλαπλασιαστικοί καταρράκτες. Οι ${\displaystyle \zeta (q)}$ ερμηνεύονται στατιστικά, καθώς χαρακτηρίζουν την εξέλιξη των κατανομών των ${\displaystyle T_{X}(a)}$ καθώς ${\displaystyle a}$ πηγαίνει από μεγαλύτερες σε μικρότερες κλίμακες. Αυτή η εξέλιξη συχνά ονομάζεται στατιστική διαλείπουσα και προδίδει μια απόκλιση από τα πρότυπα του Γκάους.

Η προσομοίωση ως πολλαπλασιαστικός καταρράκτης οδηγεί επίσης στην εκτίμηση των πολυμορφοκλασματικών ιδιοτήτων. (Ρόμπερτς & Κρόνιν 1996^[24]). Αυτή η μέθοδος λειτουργεί αρκετά καλά, ακόμη και για σχετικά μικρά σύνολα δεδομένων. Μια μέγιστη πιθανή προσαρμογή ενός πολλαπλασιαστικού καταρράκτη στο σύνολο δεδομένων όχι μόνο εκτιμά το πλήρες φάσμα αλλά δίνει επίσης λογικές εκτιμήσεις των σφαλμάτων^[25].

Εκτίμηση της πολυμορφοκλασματικής κλιμάκωσης από την καταμέτρηση κουτιών

Τα πολυμορφοκλασματικά φάσματα μπορούν να προσδιοριστούν από την καταμέτρηση κουτιών σε ψηφιακές εικόνες. Καταρχάς, γίνεται μια σάρωση με καταμέτρηση κουτιών για να καθοριστεί πώς κατανέμονται τα εικονοστοιχεία- στη συνέχεια, αυτή η "κατανομή μάζας" γίνεται η βάση για μια σειρά υπολογισμών.^[26][27][28] Η κύρια ιδέα είναι ότι για τα πολυθραυσματικά, η πιθανότητα ${\displaystyle P}$ ενός αριθμού εικονοστοιχείων ${\displaystyle m}$, που εμφανίζονται σε ένα πλαίσιο ${\displaystyle i}$, μεταβάλλεται ως μέγεθος πλαισίου ${\displaystyle \epsilon }$, σε κάποιο εκθέτη ${\displaystyle \alpha }$, ο οποίος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της εικόνας, όπως στην Eq.0.0 (NB: Για τα μονοδιαθλαστικά, αντίθετα, ο εκθέτης δεν αλλάζει ουσιαστικά πάνω στο σύνολο). Το ${\displaystyle P}$ υπολογίζεται από την κατανομή των εικονοστοιχείων με καταμέτρηση σε κουτιά, όπως στην Eq.2.0.

${\displaystyle P_{[i,\epsilon ]}\varpropto \epsilon ^{-\alpha _{i}}\therefore \alpha _{i}\varpropto {\frac {\log {P_{[i,\epsilon ]}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}}$

(Eq.0.0)

${\displaystyle \epsilon }$ = μια αυθαίρετη κλίμακα Μέγεθος κουτιού καταμέτρησης κουτιών στην καταμέτρηση κουτιών στο οποίο εξετάζεται το σύνολο

${\displaystyle i}$ = ο δείκτης για κάθε κουτί που τοποθετείται στο σύνολο για ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$ = Ο αριθμός των εικονοστοιχείων ή της "μάζας" σε κάθε πλαίσιο, ${\displaystyle i}$, στο μέγεθος ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$ = το σύνολο των κουτιών που περιείχαν περισσότερα από 0 εικονοστοιχεία, για κάθε ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle M_{\epsilon }=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}m_{[i,\epsilon ]}=}$ η συνολική μάζα ή το άθροισμα των εικονοστοιχείων σε όλα τα πλαίσια για αυτό το ${\displaystyle \epsilon }$

(Eq.1.0)

${\displaystyle P_{[i,\epsilon ]}={\frac {m_{[i,\epsilon ]}}{M_{\epsilon }}}=}$ η πιθανότητα αυτής της μάζας στο ${\displaystyle i}$ σε σχέση με τη συνολική μάζα για ένα μέγεθος κουτιού

(Eq.2.0)

${\displaystyle P}$ χρησιμοποιείται για να παρατηρήσουμε πώς συμπεριφέρεται η κατανομή των εικονοστοιχείων όταν παραμορφώνονται με ορισμένους τρόπους, όπως στο Eq.3.0 και Eq.3.1:

${\displaystyle Q}$ = ένα αυθαίρετο εύρος τιμών που θα χρησιμοποιηθεί ως εκθέτες για τη διαστρέβλωση του συνόλου δεδομένων

${\displaystyle I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}=}$το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων μάζας που παραμορφώνονται από την ανύψωση του Q, για αυτό το μέγεθος κουτιού

(Eq.3.0)

• Όταν ${\displaystyle Q=1}$, Eq.3.0 ισούται με 1, το συνηθισμένο άθροισμα όλων των πιθανοτήτων, και όταν ${\displaystyle Q=0}$, κάθε όρος ισούται με 1, οπότε το άθροισμα ισούται με τον αριθμό των καταμετρημένων κουτιών, ${\displaystyle N_{\epsilon }}$.

${\displaystyle \mu _{{(Q)}_{[i,\epsilon ]}}={\frac {P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}{I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}=}$πώς η πιθανότητα παραμορφωμένης μάζας ενός κουτιού συγκρίνεται με την παραμορφωμένη μάζα ομοίων κουτιών

(Eq.3.1)

Αυτές οι εξισώσεις παραμόρφωσης χρησιμοποιούνται επίσης για να εξετάσουν πώς συμπεριφέρεται το σύνολο όταν κλιμακώνεται ή αναλύεται ή κόβεται σε μια σειρά από κομμάτια μεγέθους ${\displaystyle \epsilon }$ και παραμορφώνεται από το Q, για να βρεθούν διαφορετικές τιμές για τη διάσταση του συνόλου, όπως παρακάτω:

• Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της Eq.3.0 είναι ότι μπορεί επίσης να παρατηρηθεί ότι μεταβάλλεται ανάλογα με την κλίμακα που αυξάνεται στον εκθέτη ${\displaystyle \tau }$ στο Eq.4.0:

${\displaystyle I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}\varpropto \epsilon ^{\tau _{(Q)}}}$

(Eq.4.0)

Συνεπώς, μια σειρά τιμών για την ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ μπορεί να βρεθεί από τις κλίσεις της γραμμής παλινδρόμησης για το λογάριθμο του Eq.3.0 έναντι του λογαρίθμου του ${\displaystyle \epsilon }$ για κάθε ${\displaystyle Q}$, με βάση την Eq.4.1:

${\displaystyle \tau _{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon }}}\right]}}}$

(Eq.4.1)

• Για τη γενικευμένη διάσταση:

${\displaystyle D_{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}\right]}}{(1-Q)^{-1}}}$

(Eq.5.0)

${\displaystyle D_{(Q)}={\frac {\tau _{(Q)}}{Q-1}}}$

(Eq.5.1)

${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{}}=D_{(Q)}\left(Q-1\right)}$

(Eq.5.2)

${\displaystyle \tau _{(Q)}=\alpha _{(Q)}Q-f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

(Eq.5.3)

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$ εκτιμάται ως η κλίση της γραμμής παλινδρόμησης για log A_{${\displaystyle \epsilon }$,Q} σε σχέση με το log ${\displaystyle \epsilon }$ όπου:

${\displaystyle A_{\epsilon ,Q}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{\mu _{{i,\epsilon }_{Q}}{P_{{i,\epsilon }_{Q}}}}}$

(Eq.6.0)

• Τότε το ${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$ προκύπτει από την Eq.5.3.

• Η μέση τιμή ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ εκτιμάται ως η κλίση της γραμμής παλινδρόμησης log-log για ${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$ σε σχέση με ${\displaystyle \epsilon }$, όπου:

${\displaystyle \tau _{(Q)_{[\epsilon ]}}={\frac {\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q-1}}}{N_{\epsilon }}}}$

(Eq.6.1)

Στην πράξη, η κατανομή των πιθανοτήτων εξαρτάται από τον τρόπο δειγματοληψίας του συνόλου δεδομένων, οπότε έχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης για την εξασφάλιση επαρκούς δειγματοληψίας.^[26]

Εφαρμογές

Η πολυμορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιήθηκε με επιτυχία σε πολλούς επιστημονικούς τομείς, όπως η φυσική,^[29][30] η πληροφορική και τις βιολογικές επιστήμες. Παραδείγματος χάριν, στην ποσοτικοποίηση των υπολειπόμενων ρωγμών στην επιφάνεια διατμητικών τοίχων από οπλισμένο σκυρόδεμα.^[31]

Ανάλυση παραμόρφωσης συνόλου δεδομένων

Η πολυκλασματική ανάλυση είναι ανάλογη με την εξέταση ενός συνόλου δεδομένων μέσα από μια σειρά παραμορφωτικών φακών για να εντοπίσουμε τις διαφορές στην κλίμακα. Το μοτίβο που παρουσιάζεται είναι ένας χάρτης Χένον.

Η πολυμορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιήθηκε σε διάφορα επιστημονικά πεδία για τον χαρακτηρισμό διαφόρων τύπων συνόλων δεδομένων.^[32][6][9]. Στην ουσία, η πολυμορφοκλασματική ανάλυση εφαρμόζει έναν παράγοντα παραμόρφωσης σε σύνολα δεδομένων που εξάγονται από πρότυπα, για να συγκρίνει τον τρόπο με τον οποίο τα δεδομένα συμπεριφέρονται σε κάθε παραμόρφωση. Αυτό γίνεται με τη χρήση γραφημάτων γνωστών ως πολυμορφοκλασματικά φάσματα, ανάλογα με την εξέταση του συνόλου δεδομένων μέσω ενός "παραμορφωτικού φακού", όπως φαίνεται στην εικόνα.^[26] Στην πράξη χρησιμοποιούνται διάφοροι τύποι πολυμορφοκλασματικών φασμάτων.

D_Q vs Q

Φάσματα D_Q σε σχέση με το Q για έναν μη-μορφοκλασματικό κύκλο (εμπειρική διάσταση καταμέτρησης κουτιών = 1.0), μονο-μορφοκλασματικό τετραγωνικό σταυρό (εμπειρική διάσταση καταμέτρησης κουτιών = 1.49), και πολυ-μορφοκλασματικό χάρτη Χένον (εμπειρική διάσταση καταμέτρησης κουτιών = 1.29).

Ένα πρακτικό πολυμορφοκλασματικό φάσμα είναι το γράφημα του D_Q vs Q, όπου D_Q είναι η γενικευμένη διάσταση για ένα σύνολο δεδομένων και Q είναι ένα αυθαίρετο σύνολο εκθετών. Η έκφραση γενικευμένη διάσταση αναφέρεται επομένως σε ένα σύνολο διαστάσεων για ένα σύνολο δεδομένων (λεπτομερείς υπολογισμοί για τον προσδιορισμό της γενικευμένης διάστασης με τη χρήση της καταμέτρησης κουτιών περιγράφονται παρακάτω).

Διάταξη διαστάσεων

Το γενικό μοτίβο της γραφικής παράστασης του D_Q σε σχέση με το Q μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση της κλιμάκωσης σε ένα πρότυπο. Η γραφική παράσταση είναι γενικά φθίνουσα, σιγμοειδής γύρω από το Q=0, όπου Q=0, όταν D_(Q=0) ≥ D_(Q=1) ≥ D_(Q=2). Όπως απεικονίζεται στην εικόνα, η διακύμανση αυτού του γραφικού φάσματος μπορεί να βοηθήσει στη διαμόρφωση προτύπων. Η εικόνα απεικονίζει D_(Q) φάσματα από πολυμοροκλασματική ανάλυση δυαδικών εικόνων μη-, μονο- και πολυκλασματικών συνόλων. Όπως συμβαίνει και στις εικόνες του δείγματος, τα μη- και τα μονο-μορφοκλάσματα τείνουν να έχουν πιο επίπεδα φάσματα D_(Q) σε σχέση με τα πολυμορφοκλάσματα.

Η γενικευμένη διάσταση παρέχει επίσης σημαντικές ειδικές πληροφορίες. D_(Q=0) είναι ίση με τη διάσταση χωρητικότητας, η οποία στην ανάλυση που παρουσιάζεται στα σχήματα εδώ είναι η διάσταση καταμέτρησης κουτιών. D_(Q=1) είναι ίση με τη διάσταση της πληροφορίας και η D_(Q=2) με τη διάσταση της συσχέτισης. Αυτό σχετίζεται με το "multi" στο πολυκμορφολασματικό, όπου τα πολυφράκταλ έχουν πολλαπλές διαστάσεις στο φάσμα D_(Q) σε σχέση με το Q, αλλά τα μονοφράκταλ παραμένουν μάλλον επίπεδα σε αυτή την περιοχή.^[26][27]

f(α) έναντι α

Ένα άλλο χρήσιμο πολυθραυσματικό φάσμα είναι η γραφική παράσταση του ${\displaystyle f(\alpha )}$ ως προς ${\displaystyle \alpha }$. Αυτές οι γραφικές παραστάσεις ανεβαίνουν γενικά σε ένα μέγιστο που προσεγγίζει τη μορφοκλασματική διάσταση στο Q=0 και στη συνέχεια πέφτουν. Όπως και τα φάσματα D_Q έναντι Q, παρουσιάζουν επίσης τυπικά σχέδια χρήσιμα για τη σύγκριση μη-, μονο- και πολυμορφοκλασματικών σχεδίων. Συγκεκριμένα, για αυτά τα φάσματα, τα μη- και τα μονο-μορφοκλασματικά συγκλίνουν σε ορισμένες τιμές, ενώ τα φάσματα από πολυφρακτάλια πρότυπα σχηματίζουν συνήθως καμπούρες σε μια ευρύτερη περιοχή.

Γενικευμένες διαστάσεις των κατανομών αφθονίας ειδών στο χώρο

Μια εφαρμογή του D_q έναντι του Q στην οικολογία είναι ο χαρακτηρισμός της κατανομής των ειδών. Συνήθως η σχετική αφθονία των ειδών υπολογίζεται για μια περιοχή χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι θέσεις των ατόμων. Μια ισοδύναμη αναπαράσταση της σχετικής αφθονίας ειδών είναι οι τάξεις των ειδών, που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία μιας επιφάνειας που ονομάζεται επιφάνεια τάξης ειδών^[33], η οποία μπορεί να αναλυθεί με τη χρήση γενικευμένων διαστάσεων για την ανίχνευση διαφόρων οικολογικών μηχανισμών, όπως αυτοί που παρατηρούνται στην ουδέτερη θεωρία της βιοποικιλότητας, στη δυναμική των μετακοινοτήτων ή στη θεωρία των θέσεων^[33][34].

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Veneziano, Daniele; Essiam, Albert K. (June 1, 2003). «Flow through porous media with multifractal hydraulic conductivity». Water Resources Research 39 (6): 1166. doi:10.1029/2001WR001018. ISSN 1944-7973. Bibcode: 2003WRR....39.1166V. 
• Movies of visualizations of multifractals

Δημοσιεύσεις

• Falconer, Kenneth J. (2014). «17. Multifractal measures». Fractal geometry: mathematical foundations and applications (3. ed., 1. publ έκδοση). Chichester: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9. 
• G, Evertsz C. J.; Mandelbrot, Benoît B. (1992). «Multifractal measures». Chaos and Fractals New Frontiers of Science: 922–953. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-07-13. https://web.archive.org/web/20230713074018/https://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/136multifractal.pdf. Ανακτήθηκε στις 2023-12-16. 
• Mandelbrot, Benoît B. (1997). Fractals and scaling in finance: discontinuity, concentration, risk. Selecta. New York, NY Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-98363-9. 
• Harte, David (26 Ιουνίου 2001). Multifractals. Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036008. ISBN 978-0-429-12366-5. 
• Stanley H.E., Meakin P. (1988). «Multifractal phenomena in physics and chemistry» (Review). Nature 335 (6189): 405–9. doi:10.1038/335405a0. Bibcode: 1988Natur.335..405S. http://polymer.bu.edu/hes/articles/sm88.pdf. 
• Arneodo, Alain; Audit, Benjamin; Kestener, Pierre; Roux, Stephane (2008). «Wavelet-based multifractal analysis». Scholarpedia 3 (3): 4103. doi:10.4249/scholarpedia.4103. ISSN 1941-6016. Bibcode: 2008SchpJ...3.4103A. 

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. «Singularity Spectrum - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 16 Δεκεμβρίου 2023. 
2. Harte, David (2001). Multifractals. London: Chapman & Hall. ISBN 978-1-58488-154-4. 
3. Gerges, Firas; Geng, Xiaolong; Nassif, Hani; Boufadel, Michel C. (2021). «Anisotropic Multifractal Scaling of Mount Lebanon Topography: Approximate Conditioning» (στα αγγλικά). Fractals 29 (5): 2150112–2153322. doi:10.1142/S0218348X21501127. ISSN 0218-348X. Bibcode: 2021Fract..2950112G. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X21501127. 
4. Ivanov, Plamen Ch.; Amaral, Luís A. Nunes; Goldberger, Ary L.; Havlin, Shlomo; Rosenblum, Michael G.; Struzik, Zbigniew R.; Stanley, H. Eugene (1999-06-03). «Multifractality in human heartbeat dynamics» (στα αγγλικά). Nature 399 (6735): 461–465. doi:10.1038/20924. ISSN 0028-0836. PMID 10365957. Bibcode: 1999Natur.399..461I. 
5. Scafetta, Nicola; Marchi, Damiano; West, Bruce J. (June 2009). «Understanding the complexity of human gait dynamics» (στα αγγλικά). Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 19 (2): 026108. doi:10.1063/1.3143035. ISSN 1054-1500. PMID 19566268. Bibcode: 2009Chaos..19b6108S. https://pubs.aip.org/aip/cha/article/909701. 
6. França, Lucas Gabriel Souza; Montoya, Pedro; Miranda, José Garcia Vivas (2019). «On multifractals: A non-linear study of actigraphy data». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 514: 612–619. doi:10.1016/j.physa.2018.09.122. ISSN 0378-4371. Bibcode: 2019PhyA..514..612F. 
7. Papo, David; Goñi, Joaquin; Buldú, Javier M. (2017). «Editorial: On the relation of dynamics and structure in brain networks» (στα αγγλικά). Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 27 (4): 047201. doi:10.1063/1.4981391. ISSN 1054-1500. PMID 28456177. Bibcode: 2017Chaos..27d7201P. 
8. Ciuciu, Philippe; Varoquaux, Gaël; Abry, Patrice; Sadaghiani, Sepideh; Kleinschmidt, Andreas (2012). «Scale-free and multifractal properties of fMRI signals during rest and task» (στα αγγλικά). Frontiers in Physiology 3: 186. doi:10.3389/fphys.2012.00186. ISSN 1664-042X. PMID 22715328. 
9. França, Lucas G. Souza; Miranda, José G. Vivas; Leite, Marco; Sharma, Niraj K.; Walker, Matthew C.; Lemieux, Louis; Wang, Yujiang (2018). «Fractal and Multifractal Properties of Electrographic Recordings of Human Brain Activity: Toward Its Use as a Signal Feature for Machine Learning in Clinical Applications» (στα αγγλικά). Frontiers in Physiology 9: 1767. doi:10.3389/fphys.2018.01767. ISSN 1664-042X. PMID 30618789. Bibcode: 2018arXiv180603889F. 
10. Ihlen, Espen A. F.; Vereijken, Beatrix (2010). «Interaction-dominant dynamics in human cognition: Beyond 1/ƒα fluctuation.» (στα αγγλικά). Journal of Experimental Psychology: General 139 (3): 436–463. doi:10.1037/a0019098. ISSN 1939-2222. PMID 20677894. https://archive.org/details/sim_journal-of-experimental-psychology-general_2010-08_139_3/page/436. 
11. Zhang, Yanli; Zhou, Weidong; Yuan, Shasha (2015). «Multifractal Analysis and Relevance Vector Machine-Based Automatic Seizure Detection in Intracranial EEG» (στα αγγλικά). International Journal of Neural Systems 25 (6): 1550020. doi:10.1142/s0129065715500203. ISSN 0129-0657. PMID 25986754. 
12. Suckling, John; Wink, Alle Meije; Bernard, Frederic A.; Barnes, Anna; Bullmore, Edward (2008). «Endogenous multifractal brain dynamics are modulated by age, cholinergic blockade and cognitive performance». Journal of Neuroscience Methods 174 (2): 292–300. doi:10.1016/j.jneumeth.2008.06.037. ISSN 0165-0270. PMID 18703089. 
13. Zorick, Todd; Mandelkern, Mark A. (2013-07-03). «Multifractal Detrended Fluctuation Analysis of Human EEG: Preliminary Investigation and Comparison with the Wavelet Transform Modulus Maxima Technique» (στα αγγλικά). PLOS ONE 8 (7): e68360. doi:10.1371/journal.pone.0068360. ISSN 1932-6203. PMID 23844189. Bibcode: 2013PLoSO...868360Z. 
14. Gaston, Kevin J.; Richard Inger; Bennie, Jonathan; Davies, Thomas W. (2013-04-24). «Artificial light alters natural regimes of night-time sky brightness» (στα αγγλικά). Scientific Reports 3: 1722. doi:10.1038/srep01722. ISSN 2045-2322. Bibcode: 2013NatSR...3E1722D. 
15. Kendal, WS; Jørgensen, BR (2011). «Tweedie convergence: a mathematical basis for Taylor's power law, 1/f noise and multifractality». Phys. Rev. E 84 (6 Pt 2): 066120. doi:10.1103/physreve.84.066120. PMID 22304168. Bibcode: 2011PhRvE..84f6120K. https://portal.findresearcher.sdu.dk/da/publications/7f80e772-1f87-4ff3-8b07-8e38494cc650. 
16. Jørgensen, B; Kokonendji, CC (2011). «Dispersion models for geometric sums». Braz J Probab Stat 25 (3): 263–293. doi:10.1214/10-bjps136. 
17. Kendal, WS (2014). «Multifractality attributed to dual central limit-like convergence effects». Physica A 401: 22–33. doi:10.1016/j.physa.2014.01.022. Bibcode: 2014PhyA..401...22K. 
18. Xiao, Xiongye; Chen, Hanlong; Bogdan, Paul (25 November 2021). «Deciphering the generating rules and functionalities of complex networks». Scientific Reports 11 (1): 22964. doi:10.1038/s41598-021-02203-4. PMID 34824290. Bibcode: 2021NatSR..1122964X. 
19. Lopes, R.; Betrouni, N. (2009). «Fractal and multifractal analysis: A review». Medical Image Analysis 13 (4): 634–649. doi:10.1016/j.media.2009.05.003. PMID 19535282. 
20. Moreno, P. A.; Vélez, P. E.; Martínez, E.; Garreta, L. E.; Díaz, N. S.; Amador, S.; Tischer, I.; Gutiérrez, J. M. και άλλοι. (2011). «The human genome: A multifractal analysis». BMC Genomics 12: 506. doi:10.1186/1471-2164-12-506. PMID 21999602. 
21. Atupelage, C.; Nagahashi, H.; Yamaguchi, M.; Sakamoto, M.; Hashiguchi, A. (2012). «Multifractal feature descriptor for histopathology». Analytical Cellular Pathology 35 (2): 123–126. doi:10.1155/2012/912956. PMID 22101185. 
22. Falconer, Kenneth J. (2014). «17. Multifractal measures». Fractal geometry: mathematical foundations and applications (3. ed., 1. publ έκδοση). Chichester: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9. 
23. A.J. Roberts and A. Cronin (1996). «Unbiased estimation of multi-fractal dimensions of finite data sets». Physica A 233 (3): 867–878. doi:10.1016/S0378-4371(96)00165-3. Bibcode: 1996PhyA..233..867R. 
24. «Μελετητής Google». scholar.google.gr. Ανακτήθηκε στις 16 Δεκεμβρίου 2023. 
25. Roberts, A. J. (7 Αυγούστου 2014). «Multifractal estimation—maximum likelihood». University of Adelaide. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2019. 
26. Karperien, A (2002), What are Multifractals?, ImageJ, http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Multifractals.htm, ανακτήθηκε στις 2012-02-10 
27. Chhabra, A.; Jensen, R. (1989). «Direct determination of the f(α) singularity spectrum». Physical Review Letters 62 (12): 1327–1330. doi:10.1103/PhysRevLett.62.1327. PMID 10039645. Bibcode: 1989PhRvL..62.1327C. 
28. Posadas, A. N. D.; Giménez, D.; Bittelli, M.; Vaz, C. M. P.; Flury, M. (2001). «Multifractal Characterization of Soil Particle-Size Distributions». Soil Science Society of America Journal 65 (5): 1361. doi:10.2136/sssaj2001.6551361x. Bibcode: 2001SSASJ..65.1361P. 
29. Amin, Kazi Rafsanjani; Nagarajan, Ramya; Pandit, Rahul; Bid, Aveek (2022-10-26). «Multifractal Conductance Fluctuations in High-Mobility Graphene in the Integer Quantum Hall Regime». Physical Review Letters 129 (18): 186802. doi:10.1103/PhysRevLett.129.186802. PMID 36374690. Bibcode: 2022PhRvL.129r6802A. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.129.186802. 
30. Amin, Kazi Rafsanjani; Ray, Samriddhi Sankar; Pal, Nairita; Pandit, Rahul; Bid, Aveek (2018-02-22). «Exotic multifractal conductance fluctuations in graphene» (στα αγγλικά). Communications Physics 1 (1): 1–7. doi:10.1038/s42005-017-0001-4. ISSN 2399-3650. Bibcode: 2018CmPhy...1....1A. 
31. Ebrahimkhanlou, Arvin; Farhidzadeh, Alireza; Salamone, Salvatore (2016-01-01). «Multifractal analysis of crack patterns in reinforced concrete shear walls» (στα αγγλικά). Structural Health Monitoring 15 (1): 81–92. doi:10.1177/1475921715624502. ISSN 1475-9217. 
32. Trevino, J.; Liew, S. F.; Noh, H.; Cao, H.; Dal Negro, L. (2012). «Geometrical structure, multifractal spectra and localized optical modes of aperiodic Vogel spirals». Optics Express 20 (3): 3015–33. doi:10.1364/OE.20.003015. PMID 22330539. Bibcode: 2012OExpr..20.3015T. 
33. Saravia, Leonardo A. (2015-08-01). «A new method to analyse species abundances in space using generalized dimensions». Methods in Ecology and Evolution 6 (11): 1298–1310. doi:10.1111/2041-210X.12417. ISSN 2041-210X. https://peerj.com/preprints/745v5/. 
34. Saravia, Leonardo A. (2014-01-01). «mfSBA: Multifractal analysis of spatial patterns in ecological communities». F1000Research 3: 14. doi:10.12688/f1000research.3-14.v2. PMID 25324962.