Στοχαστική διαδικασία

Μια προσομοιωμένη στον υπολογιστή υλοποίηση μιας διαδικασίας κίνησης Βίνερ ή Μπράουν στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Η διαδικασία Βίνερ θεωρείται ευρέως η πιο μελετημένη και κεντρική στοχαστική διαδικασία στη θεωρία πιθανοτήτων..^[1][2][3]

Στη θεωρία πιθανοτήτων και στα συναφή πεδία, μια στοχαστική (/stəˈkæstɪk/) ή τυχαία διαδικασία είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που ορίζεται γενικά ως μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών σε έναν χώρο πιθανοτήτων, όπου ο δείκτης της οικογένειας έχει συχνά την ερμηνεία του χρόνου. Οι στοχαστικές διαδικασίες χρησιμοποιούνται ευρέως ως μαθηματικά μοντέλα συστημάτων και φαινομένων που φαίνεται να μεταβάλλονται τυχαία. Παραδείγματα περιλαμβάνουν την ανάπτυξη ενός βακτηριακού πληθυσμού, ένα ηλεκτρικό ρεύμα που αυξομειώνεται λόγω θερμικού θορύβου ή την κίνηση ενός μορίου αερίου^[1][4][5] Οι στοχαστικές διαδικασίες έχουν εφαρμογές σε πολλούς κλάδους όπως η βιολογία,^[6] η χημεία,^[7] η οικολογία,^[8] η νευροεπιστήμη,^[9] η φυσική,^[10] η επεξεργασία εικόνας, η επεξεργασία σήματος,^[11] η θεωρία ελέγχου,^[12] η θεωρία πληροφοριών,^[13] η επιστήμη των υπολογιστών,^[14] και οι τηλεπικοινωνίες^[15]. Επιπλέον, οι φαινομενικά τυχαίες μεταβολές στις χρηματοπιστωτικές αγορές αποτέλεσαν κίνητρο για την εκτεταμένη χρήση στοχαστικών διαδικασιών στη χρηματοοικονομική^[16][17][18].

Οι εφαρμογές και η μελέτη των φαινομένων ενέπνευσαν με τη σειρά τους την πρόταση νέων στοχαστικών διαδικασιών. Μεταξύ αυτών των στοχαστικών διαδικασιών είναι η διαδικασία Βίνερ ή διαδικασία κίνησης Μπράουν[α], που χρησιμοποιήθηκε από τον Λουί Μπατσελιέ για τη μελέτη των μεταβολών των τιμών στο Χρηματιστήριο του Παρισιού^[19], και η διαδικασία Πουασόν, που χρησιμοποιήθηκε από τον A. K. Έρλανγκ για τη μελέτη του αριθμού των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης περιόδου^[20]. [Οι δύο αυτές στοχαστικές διαδικασίες θεωρούνται οι πιο σημαντικές και κεντρικές στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών^[1][4][21]. και επινοήθηκαν αρκετές φορές και ανεξάρτητα, τόσο πριν όσο και μετά τον Μπατσελιέ και τον Έρλανγκ, σε διαφορετικά πλαίσια και χώρες.^[19][22]

Ο όρος τυχαία συνάρτηση χρησιμοποιείται επίσης για να ορίσει μια στοχαστική ή τυχαία διαδικασία^[23][24], καθώς μια στοχαστική διαδικασία μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως ένα τυχαίο στοιχείο σε ένα χώρο συναρτήσεων^[25][26]. Οι όροι στοχαστική διαδικασία και τυχαία διαδικασία χρησιμοποιούνται εναλλάξ, συχνά χωρίς συγκεκριμένο μαθηματικό χώρο για το σύνολο που ευρετηριάζει τις τυχαίες μεταβλητές^[25][27]. Όμως οι δύο αυτοί όροι χρησιμοποιούνται συχνά όταν οι τυχαίες μεταβλητές δεικτοδοτούνται από τους ακέραιους αριθμούς ή ένα διάστημα της πραγματικής γραμμής^[25][27]. Αν οι τυχαίες μεταβλητές δεικτοδοτούνται από το καρτεσιανό επίπεδο ή έναν ευκλείδειο χώρο υψηλότερων διαστάσεων, η συλλογή των τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται γενικά τυχαίο πεδίο ^[5][27]. Οι τιμές μιας στοχαστικής διαδικασίας δεν είναι πάντα αριθμοί και μπορεί να είναι διανύσματα ή άλλα μαθηματικά αντικείμενα^[5][28]

Εισαγωγή

Μια στοχαστική ή τυχαία διαδικασία μπορεί να οριστεί ως μια συλλογή τυχαίων μεταβλητών που δεικτοδοτούνται από ένα μαθηματικό σύνολο, το οποίο σημαίνει ότι κάθε τυχαία μεταβλητή στη στοχαστική διαδικασία συνδέεται μοναδικά με ένα στοιχείο του συνόλου.^[4][5] Το σύνολο που χρησιμοποιείται για την δεικτοδότηση των τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται σύνολο δείκτη. Ιστορικά, το σύνολο δείκτη ήταν ένα υποσύνολο της πραγματικής γραμμής, όπως οι φυσικοί αριθμοί, γεγονός που του έδωσε την ερμηνεία του χρόνου^[1]. Κάθε τυχαία μεταβλητή της συλλογής παίρνει τιμές στον ίδιο μαθηματικό χώρο, που ονομάζεται χώρος καταστάσεων. Αυτός ο χώρος καταστάσεων μπορεί να είναι, για παράδειγμα, οι ακέραιοι αριθμοί, η πραγματική γραμμή ή ένας ευκλείδειος χώρος ${\displaystyle n}$ διαστάσεων.^[1][5] Μια προσαύξηση είναι το ποσό που αλλάζει μια στοχαστική διαδικασία μεταξύ δύο τιμών δείκτη, που συχνά ερμηνεύονται ως δύο χρονικά σημεία.^[29][30] Μια στοχαστική διαδικασία μπορεί να έχει πολλά αποτελέσματα, λόγω της τυχαιότητάς της, και ένα μοναδικό αποτέλεσμα μιας στοχαστικής διαδικασίας ονομάζεται, μεταξύ άλλων, δειγματοληπτική συνάρτηση ή υλοποίηση^[26][31].

Μια ενιαία προσομοιωμένη στον υπολογιστή δειγματική συνάρτηση ή υλοποίηση, μεταξύ άλλων όρων, μιας τρισδιάστατης διαδικασίας Βίνερ ή κίνησης Μπράουν για χρόνο 0 ≤ t ≤ 2. Το σύνολο δεικτών αυτής της στοχαστικής διαδικασίας είναι οι μη αρνητικοί αριθμοί, ενώ ο χώρος καταστάσεών της είναι ο τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος.

Κατάταξη

Μια στοχαστική διαδικασία μπορεί να ταξινομηθεί με διάφορους τρόπους, επί παραδείγματι ανάλογα με τον χώρο καταστάσεών της, το σύνολο των δεικτών της ή την εξάρτηση μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών. H πληθικότητα του συνόλου δεικτών και του χώρου καταστάσεων είναι μια κοινή μέθοδος ταξινόμησης ^[32][33][34].

Όταν ερμηνεύεται ως χρόνος, εάν το σύνολο δεικτών μιας στοχαστικής διαδικασίας έχει πεπερασμένο ή μετρήσιμο αριθμό στοιχείων, όπως ένα πεπερασμένο σύνολο αριθμών, το σύνολο των ακεραίων ή οι φυσικοί αριθμοί, η στοχαστική διαδικασία λέγεται ότι βρίσκεται σε διακριτό χρόνο.^[35][36]. Εάν το σύνολο των δεικτών είναι ένα διάστημα της πραγματικής γραμμής, ο χρόνος λέγεται ότι είναι συνεχής. Οι δύο τύποι στοχαστικών διεργασιών ονομάζονται στοχαστικές διεργασίες διακριτού χρόνου και στοχαστικές διεργασίες συνεχούς χρόνου αντίστοιχα ^[29][37][38]. Οι στοχαστικές διεργασίες διακριτού χρόνου θεωρούνται ευκολότερες στη μελέτη, καθώς οι διεργασίες συνεχούς χρόνου απαιτούν πιο προηγμένες τεχνικές και μαθηματικές γνώσεις, ιδίως επειδή το σύνολο των δεικτών δεν είναι μετρήσιμο^[39][40] . Εάν το σύνολο των δεικτών αποτελείται από ακέραιους αριθμούς ή ένα υποσύνολο αυτών, η στοχαστική διαδικασία μπορεί επίσης να ονομαστεί τυχαία ακολουθία ^[36].

Εάν ο χώρος καταστάσεων είναι οι ακέραιοι ή οι φυσικοί αριθμοί, τότε η στοχαστική διαδικασία ονομάζεται διακριτή ή στοχαστική διαδικασία ακέραιων τιμών. Εάν ο χώρος καταστάσεων είναι η πραγματική γραμμή, τότε η στοχαστική διαδικασία αναφέρεται ως στοχαστική διαδικασία πραγματικών τιμών ή διαδικασία με συνεχή χώρο καταστάσεων. Εάν ο χώρος καταστάσεων είναι ο ${\displaystyle n}$-διάστατος ευκλείδειος χώρος, τότε η στοχαστική διαδικασία ονομάζεται ${\displaystyle n}$-διάστατη διανυσματική διαδικασία ή ${\displaystyle n}$-διανυσματική διαδικασία^[32][33].

Ετυμολογία

Η λέξη stochastic στα αγγλικά χρησιμοποιήθηκε αρχικά ως επίθετο με τον ορισμό «που αφορά την εικασία», και προέρχεται από ελληνική λέξη που σημαίνει «στοχεύω σε ένα σημείο, μαντεύω», ενώ το Oxford English Dictionary αναφέρει το έτος 1662 ως την πρώτη εμφάνισή της^[41] . [Στο βιβλίο του για τις πιθανότητες Ars Conjectandi, το οποίο εκδόθηκε αρχικά στα λατινικά το 1713, ο Γιάκομπ Μπερνούλι χρησιμοποίησε την έκφραση «Ars Conjectandi sive Stochastice», η οποία έχει μεταφραστεί ως «η τέχνη της εικασίας ή της στοχαστικής»[61] Η έκφραση αυτή χρησιμοποιήθηκε, αναφερόμενος στον Μπερνούλι, από τον Λάντισλαβ Μπόρτκιεβιτς^{[42] [43]} ο οποίος, το 1917, έγραψε στα γερμανικά τη λέξη stochastik με τη σημασία της τυχαιότητας. Ο όρος στοχαστική διαδικασία εμφανίστηκε για πρώτη φορά στα αγγλικά σε ένα άρθρο του Τζόζεφ Ντουμπ το 1934^[41]. Για τον όρο και έναν συγκεκριμένο μαθηματικό ορισμό, ο Ντουμπ παρέπεμψε σε ένα άλλο άρθρο του 1934, όπου ο όρος stochastischer Prozeß χρησιμοποιήθηκε στα γερμανικά από τον Αλεξάντρ Κίντσιν^[44][45], αν και ο γερμανικός όρος είχε χρησιμοποιηθεί νωρίτερα, για παράδειγμα από τον Αντρέι Κολμογκόροφ το 1931^[46].

Σύμφωνα με το Αγγλικό Λεξικό της Οξφόρδης, η παλαιότερη καταγεγραμμένη χρήση της λέξης random στα αγγλικά με τη σημερινή της έννοια, που σχετίζεται με την τύχη ή την επιτυχία, χρονολογείται από τον δέκατο έκτο αιώνα, ενώ οι παλαιότερες καταγεγραμμένες χρήσεις άρχισαν τον δέκατο τέταρτο αιώνα ως ουσιαστικό που σημαίνει «ορμητικότητα, μεγάλη ταχύτητα, δύναμη ή βία (στην ιππασία, το τρέξιμο, το χτύπημα κ.λπ.)». Η ίδια η λέξη προέρχεται από μια μεσογαλλική λέξη που σημαίνει «ταχύτητα, βιασύνη» και πιθανότατα προέρχεται από ένα γαλλικό ρήμα που σημαίνει «τρέχω» ή «καλπάζω». Η πρώτη γραπτή εμφάνιση του όρου τυχαία διαδικασία προηγείται εκείνης της στοχαστικής διαδικασίας, την οποία το Αγγλικό Λεξικό της Οξφόρδης δίνει επίσης ως συνώνυμο, και χρησιμοποιήθηκε σε ένα άρθρο του Φράνσις Έντγουορθ που δημοσιεύθηκε το 1888^[47].

Ορολογία

Ο ορισμός μιας στοχαστικής διαδικασίας ποικίλλει^[48], αλλά κατά κανόνα μια στοχαστική διαδικασία ορίζεται ως μια συλλογή τυχαίων μεταβλητών που δεικτοδοτούνται από ένα ορισμένο σύνολο Οι όροι τυχαία διαδικασία και στοχαστική διαδικασία θεωρούνται συνώνυμα και χρησιμοποιούνται εναλλακτικά, χωρίς να προσδιορίζεται επακριβώς το σύνολο δεικτοδότησης. [Χρησιμοποιούνται και οι όροι "συλλογή" ή "οικογένεια", ενώ αντί για "σύνολο δεικτών" χρησιμοποιούνται μερικές φορές οι όροι "σύνολο παραμέτρων" ή "χώρος παραμέτρων"^[28].

Ο όρος random function χρησιμοποιείται επίσης για να αναφερθεί σε μια στοχαστική ή τυχαία διαδικασία, αν και μερικές φορές χρησιμοποιείται μόνο όταν η στοχαστική διαδικασία παίρνει πραγματικές τιμές. [Ο όρος αυτός χρησιμοποιείται επίσης όταν τα σύνολα δεικτών είναι μαθηματικοί χώροι εκτός της πραγματικής γραμμής, ενώ οι όροι στοχαστική διαδικασία και τυχαία διαδικασία χρησιμοποιούνται γενικά όταν το σύνολο δεικτών ερμηνεύεται ως χρόνος ενώ χρησιμοποιούνται και άλλοι όροι όπως τυχαίο πεδίο όταν το σύνολο δεικτών είναι ο Ευκλείδειος χώρος με ${\displaystyle n}$ διαστάσεις ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ή μια πολλαπλότητα. ^[5][26][28]

Παραδείγματα

Διαδικασία Μπερνούλι

Μια από τις απλούστερες στοχαστικές διαδικασίες είναι η διαδικασία Μπερνούλι, η οποία είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων και πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών (iid), όπου κάθε τυχαία μεταβλητή παίρνει την τιμή ένα ή μηδέν, δηλαδή ένα με πιθανότητα ${\displaystyle p}$ και μηδέν με πιθανότητα ${\displaystyle 1-p}$. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συσχετιστεί με την εξιδανίκευση μιας επαναλαμβανόμενης ρίψης κέρματος, όπου η πιθανότητα να πάρουμε « κορώνα » λαμβάνεται ίση με ένα, ενώ η τιμή της ουράς λαμβάνεται ίση με μηδέν. Με άλλα λόγια, μια διαδικασία Μπερνούλι είναι μια ακολουθία iid τυχαίων μεταβλητών Μπερνούλι^[49], όπου κάθε εξιδανικευμένη ρίψη κέρματος αποτελεί παράδειγμα μιας δοκιμής Μπερνούλι^[50].

Τυχαίος περίπατος

Οι τυχαίοι περίπατοι είναι στοχαστικές διαδικασίες που γενικά ορίζονται ως αθροίσματα iid τυχαίων μεταβλητών ή τυχαίων διανυσμάτων στον Ευκλείδειο χώρο, δηλαδή διαδικασίες που μεταβάλλονται σε διακριτό χρόνο^{[51][52][53][54][55]}. Αλλά ορισμένοι χρησιμοποιούν τον όρο και για να αναφερθούν σε διαδικασίες που μεταβάλλονται σε συνεχή χρόνο^[56] ιδίως η διαδικασία Wiener που χρησιμοποιείται σε χρηματοοικονομικά μοντέλα, γεγονός που έχει οδηγήσει σε σύγχυση, εξ ου και η κριτική του όρου^[57]. [Υπάρχουν διάφοροι άλλοι τύποι τυχαίων περιπάτων, που ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε οι χώροι κατάστασής τους να μπορούν να είναι άλλα μαθηματικά αντικείμενα, όπως πλέγματα και ομάδες, και γενικά είναι καλά μελετημένοι και έχουν πολλές εφαρμογές σε διάφορους κλάδους^[56][58].

Ένα κλασικό παράδειγμα τυχαίου περιπάτου είναι γνωστό ως απλός τυχαίος περίπατος, ο οποίος είναι μια στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου με ακέραιους αριθμούς ως χώρο καταστάσεων και ο οποίος βασίζεται σε μια διαδικασία Μπερνούλι, όπου κάθε μεταβλητή Μπερνούλι παίρνει είτε τη θετική είτε την αρνητική τιμή. Με άλλα λόγια, ο απλός τυχαίος περίπατος λαμβάνει χώρα στους ακέραιους αριθμούς και η τιμή του αυξάνεται κατά ένα με πιθανότητα, π.χ.${\displaystyle p}$ ή μειώνεται κατά ένα με πιθανότητα ${\displaystyle 1-p}$. Το σύνολο δεικτών αυτού του τυχαίου περιπάτου είναι επομένως οι φυσικοί ακέραιοι, ενώ ο χώρος καταστάσεών του είναι οι ακέραιοι. Αν ${\displaystyle p=0.5}$, αυτός ο τυχαίος περίπατος ονομάζεται συμμετρικός τυχαίος περίπατος^[59][60].

Διαδικασία Βίνερ

Η διαδικασία Βίνερ είναι μια στοχαστική διαδικασία με στάσιμες και ανεξάρτητες προσαυξήσεις που κατανέμονται κανονικά με βάση το μέγεθος των προσαυξήσεων.^[2][61] Η διαδικασία Βίνερ πήρε το όνομά της από τον Νόρμπερτ Βίνερ, ο οποίος απέδειξε τη μαθηματική της ύπαρξη, αλλά η διαδικασία ονομάζεται επίσης διαδικασία κίνησης Μπράουν ή απλά κίνηση Μπράουν λόγω της ιστορικής της σύνδεσης ως μοντέλο για την κίνηση Μπράουν στα υγρά^[62][63][64].

Υλοποίηση διαδικασιών Βίνερ (ή διαδικασιών κίνησης Μπράουν) με ολίσθηση (blue) και χωρίς ολίσθηση (red)

Παίζοντας κεντρικό ρόλο στη θεωρία των πιθανοτήτων, η διαδικασία Βίνερ θεωρείται συχνά η πιο σημαντική και μελετημένη στοχαστική διαδικασία, με συνδέσεις με άλλες στοχαστικές διαδικασίες.^{[1][2][3][65][66][67][68]} Το σύνολο δεικτών και ο χώρος καταστάσεων της είναι οι μη αρνητικοί αριθμοί και οι πραγματικοί αριθμοί, αντίστοιχα, οπότε έχει και συνεχές σύνολο δεικτών και χώρο καταστάσεων.^[69] Αλλά η διαδικασία μπορεί να οριστεί γενικότερα, οπότε ο χώρος καταστάσεών της μπορεί να είναι ο ${\displaystyle n}$-διάστατος ευκλείδειος χώρος.^[58][66][70] Αν ο μέσος όρος κάθε προσαύξησης είναι μηδέν, τότε η προκύπτουσα διαδικασία Βίνερ ή κίνηση Μπράουν λέγεται ότι έχει μηδενική ολίσθηση. Αν ο μέσος όρος της προσαύξησης για δύο οποιαδήποτε χρονικά σημεία είναι ίσος με τη χρονική διαφορά πολλαπλασιασμένη με κάποια σταθερά μ, η οποία είναι πραγματικός αριθμός, τότε η προκύπτουσα στοχαστική διαδικασία λέγεται ότι έχει ολίσθηση ${\displaystyle \mu }$.^[71][72][73].

Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια δειγματική τροχιά μιας διαδικασίας Βίνερ είναι συνεχής παντού αλλά πουθενά δεν είναι διαφορίσιμη. Μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνεχής εκδοχή του απλού τυχαίου περιπάτου^[30][72]. Η διαδικασία εμφανίζεται ως το μαθηματικό όριο άλλων στοχαστικών διαδικασιών, όπως ορισμένοι αναβαθμισμένοι τυχαίοι περίπατοι^[74][75], το οποίο αποτελεί αντικείμενο του θεωρήματος του Ντόνσκερ ή της αρχής της αναλλοίωτης κατάστασης, επίσης γνωστού ως λειτουργικό κεντρικό οριακό θεώρημα.^[76][77][78]

Η διαδικασία Βίνερ είναι μία από μια σειρά σημαντικών οικογενειών στοχαστικών διαδικασιών, συμπεριλαμβανομένων των διαδικασιών Μαρκόφ, των διαδικασιών Λέβι και των διαδικασιών Γκάους^[2][30]. Η διαδικασία έχει επίσης πολλές εφαρμογές και είναι η κύρια στοχαστική διαδικασία που χρησιμοποιείται στον στοχαστικό λογισμό^[79][80]. [Παίζει κεντρικό ρόλο στην ποσοτική χρηματοοικονομική^[81][82], όπου χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στο μοντέλο Μπλακ-Σόουλς-Μέρτον^[83]. Η διαδικασία χρησιμοποιείται επίσης σε διάφορους τομείς, συμπεριλαμβανομένων των περισσότερων φυσικών επιστημών και ορισμένων κλάδων των κοινωνικών επιστημών, ως μαθηματικό μοντέλο για διάφορα τυχαία φαινόμενα^[3][84][85].

Διαδικασία Πουασόν

Η διαδικασία Πουασόν είναι μια στοχαστική διαδικασία που έχει διάφορες μορφές και ορισμούς^[86][87]. Μπορεί να οριστεί ως διαδικασία καταμέτρησης, η οποία είναι μια στοχαστική διαδικασία που αντιπροσωπεύει τον τυχαίο αριθμό σημείων ή γεγονότων μέχρι ένα συγκεκριμένο χρονικό σημείο. Ο αριθμός των σημείων της διαδικασίας που βρίσκονται στο διάστημα μηδέν σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι μια τυχαία μεταβλητή Πουασόν που εξαρτάται από τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή και μια συγκεκριμένη παράμετρο. Ο χώρος καταστάσεων αυτής της διαδικασίας είναι οι φυσικοί αριθμοί και το σύνολο δεικτών είναι οι μη αρνητικοί αριθμοί. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται επίσης διαδικασία καταμέτρησης Πουασόν, καθώς μπορεί να ερμηνευτεί ως παράδειγμα διαδικασίας καταμέτρησης ^[86].

Εάν μια διαδικασία Πουασόν ορίζεται με μία μόνο θετική σταθερά, η διαδικασία ονομάζεται ομογενής διαδικασία Πουασόν^[86][88]. Η ομογενής διαδικασία Πουασόν ανήκει σε σημαντικές κατηγορίες στοχαστικών διαδικασιών, όπως οι διαδικασίες Markov και οι διαδικασίες Λεβί ^[30].

Η ομογενής διαδικασία Πουασόν μπορεί να οριστεί και να γενικευτεί με διάφορους τρόπους. Μπορεί να οριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε το σύνολο των δεικτών της να είναι η πραγματική γραμμή, και αυτή η στοχαστική διαδικασία ονομάζεται επίσης στάσιμη διαδικασία Πουασόν.^[89][90] Αν η σταθερή παράμετρος της διαδικασίας Πουασόν αντικατασταθεί από μια μη αρνητική ολοκληρώσιμη συνάρτηση της , η διαδικασία που προκύπτει ονομάζεται ανομοιογενής ή ανομοιογενής διαδικασία Πουασόν, στην οποία η μέση πυκνότητα των σημείων της διαδικασίας δεν είναι πλέον σταθερή^[91]. [Ως θεμελιώδης διαδικασία στη θεωρία ουρών αναμονής, η διαδικασία Πουασόν είναι μια σημαντική διαδικασία για μαθηματικά μοντέλα, όπου βρίσκει εφαρμογές για μοντέλα γεγονότων που συμβαίνουν τυχαία σε ορισμένα χρονικά παράθυρα^[92][93].

Αν οριστεί στην πραγματική γραμμή, η διαδικασία Πουασόν μπορεί να ερμηνευτεί ως μια στοχαστική διαδικασία,^[30][94] μεταξύ άλλων τυχαίων αντικειμένων.^[95][96] Αλλά μπορεί στη συνέχεια να οριστεί στον Ευκλείδειο χώρο ${\displaystyle n}$ διαστάσεων ή σε άλλους μαθηματικούς χώρους^[97], όπου συχνά ερμηνεύεται ως ένα τυχαίο σύνολο ή ένα τυχαίο μέτρο μέτρησης, αντί για μια στοχαστική διαδικασία^[95][96]. [Σε αυτό το πλαίσιο, η διαδικασία Πουασόν, γνωστή και ως σημειακή διαδικασία Πουασόν, είναι ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα της θεωρίας πιθανοτήτων, τόσο για εφαρμογές όσο και για θεωρητικούς λόγους^[20][98] Έχει όμως παρατηρηθεί ότι η διαδικασία Πουασόν δεν λαμβάνει τόση προσοχή όση θα έπρεπε, εν μέρει επειδή συχνά εξετάζεται μόνο στην πραγματική γραμμή και όχι σε άλλους μαθηματικούς χώρους^[98][99].

Ορισμός

Στοχαστική διαδικασία

Μια στοχαστική διαδικασία ορίζεται ως μια συλλογή τυχαίων μεταβλητών που ορίζονται σε έναν κοινό χώρο πιθανοτήτων ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, όπου ${\displaystyle \Omega }$ είναι ένας δειγματικός χώρος, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ είναι μια ${\displaystyle \sigma }$-άλγεβρα και ${\displaystyle P}$ είναι ένα μέτρο πιθανότητας, και οι τυχαίες μεταβλητές, που δεικτοδοτούνται από κάποιο σύνολο ${\displaystyle T}$, παίρνουν όλες τιμές στον ίδιο μαθηματικό χώρο ${\displaystyle S}$, ο οποίος πρέπει να είναι μετρήσιμος ως προς κάποια ${\displaystyle \sigma }$-άλγεβρα ${\displaystyle \Sigma }$.^[26]

Με άλλα λόγια, για έναν δεδομένο χώρο πιθανοτήτων ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ και έναν μετρήσιμο χώρο ${\displaystyle (S,\Sigma )}$, μια στοχαστική διαδικασία είναι μια συλλογή από τυχαίες μεταβλητές με τιμή ${\displaystyle S}$, οι οποίες μπορούν να γραφούν ως εξής: ^[100]

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

Ιστορικά, σε πολλά προβλήματα των φυσικών επιστημών, ένα σημείο ${\displaystyle t\in T}$ είχε την έννοια του χρόνου, έτσι ώστε ${\displaystyle X(t)}$ να είναι μια τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει μια παρατηρούμενη τιμή τη χρονική στιγμή ${\displaystyle t}$. ^[101] Μια στοχαστική διαδικασία μπορεί επίσης να γραφτεί ως ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ για να αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι στην πραγματικότητα είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, ${\displaystyle t\in T}$ και ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.^[26][102]

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι να θεωρηθεί μια στοχαστική διαδικασία, με τον παραπάνω ορισμό να θεωρείται ο παραδοσιακός. ^[103][104] Επί παραδείγματι, μια στοχαστική διαδικασία μπορεί να ερμηνευθεί ή να οριστεί ως μια τυχαία μεταβλητή με τιμή ${\displaystyle S^{T}}$, όπου ${\displaystyle S^{T}}$ είναι ο χώρος όλων των δυνατών συναρτήσεων από το σύνολο ${\displaystyle T}$ στο χώρο ${\displaystyle S}$. ^[25][103] Ωστόσο, αυτός ο εναλλακτικός ορισμός ως «τυχαία μεταβλητή με τιμή συνάρτησης» απαιτεί γενικά πρόσθετες παραδοχές κανονικότητας για να είναι καλά ορισμένη. ^[105]

Σύνολο δεικτών

Το σύνολο ${\displaystyle T}$ ονομάζεται σύνολο δεικτών.^[4][32] ή σύνολο παραμέτρων.^[26][106] της στοχαστικής διαδικασίας. Συχνά το σύνολο αυτό είναι κάποιο υποσύνολο της πραγματικής γραμμής, όπως οι φυσικοί αριθμοί ή ένα διάστημα, δίνοντας στο σύνολο ${\displaystyle T}$ την ερμηνεία του χρόνου.^[1] Εκτός από αυτά τα σύνολα, το σύνολο δεικτών ${\displaystyle T}$ μπορεί να είναι ένα άλλο σύνολο με ολική τάξη ή ένα γενικότερο σύνολο, ^[1][35] όπως το καρτεσιανό επίπεδο ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ή ο ${\displaystyle n}$-διάστατος Ευκλείδειος χώρος, όπου ένα στοιχείο ${\displaystyle t\in T}$ μπορεί να αντιπροσωπεύει ένα σημείο στο χώρο.^[29][107] Εντούτοις, πολλά αποτελέσματα και θεωρήματα είναι δυνατά μόνο για στοχαστικές διεργασίες με ένα πλήρως διατεταγμένο σύνολο δεικτών.^[108]

Χώρος καταστάσεων

Ο μαθηματικός χώρος ${\displaystyle S}$ μιας στοχαστικής διαδικασίας ονομάζεται χώρος καταστάσεων. Αυτός ο μαθηματικός χώρος μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς, πραγματικές γραμμές, ${\displaystyle n}$-διάστατους ευκλείδειους χώρους, μιγαδικά επίπεδα ή πιο αφηρημένους μαθηματικούς χώρους. Ο χώρος καταστάσεων ορίζεται χρησιμοποιώντας στοιχεία που αντικατοπτρίζουν τις διαφορετικές τιμές που μπορεί να πάρει η στοχαστική διαδικασία.^{[1][5][26][32][37]}

Συνάρτηση δείγματος

Μια δειγματική συνάρτηση είναι ένα μόνο αποτέλεσμα μιας στοχαστικής διαδικασίας, οπότε σχηματίζεται λαμβάνοντας μια μόνο πιθανή τιμή κάθε τυχαίας μεταβλητής της στοχαστικής διαδικασίας. ^[26][109] Πιο συγκεκριμένα, αν ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ είναι μια στοχαστική διαδικασία, τότε για κάθε σημείο ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, η απεικόνιση

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

ονομάζεται δειγματική συνάρτηση, υλοποίηση ή, ιδίως όταν το ${\displaystyle T}$ ερμηνεύεται ως χρόνος, δειγματική διαδρομή της στοχαστικής διαδικασίας ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$.^[31] Αυτό σημαίνει ότι για ένα σταθερό ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, υπάρχει μια δειγματική συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο δεικτών ${\displaystyle T}$ στο χώρο καταστάσεων ${\displaystyle S}$.^[26] Άλλα ονόματα για μια δειγματική συνάρτηση μιας στοχαστικής διαδικασίας περιλαμβάνουν τροχιά, συνάρτηση διαδρομής.^[110] ή μονοπάτι».^[111]

Αύξηση

Η αύξηση (increment) μιας στοχαστικής διαδικασίας είναι η διαφορά μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών της ίδιας στοχαστικής διαδικασίας. Για μια στοχαστική διαδικασία με ένα σύνολο δεικτών που μπορεί να ερμηνευθεί ως χρόνος, μια προσαύξηση είναι το πόσο αλλάζει η στοχαστική διαδικασία κατά τη διάρκεια μιας συγκεκριμένης χρονικής περιόδου. Επί παραδείγματι, εάν ${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$ είναι μια στοχαστική διαδικασία με χώρο καταστάσεων ${\displaystyle S}$ και σύνολο δεικτών ${\displaystyle T=[0,\infty )}$, τότε για δύο οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς ${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$ και ${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$ τέτοιοι ώστε ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$, η διαφορά ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$ είναι μια τυχαία μεταβλητή με τιμή ${\displaystyle S}$ γνωστή ως προσαύξηση.^[29][30] Όταν μας ενδιαφέρουν οι προσαυξήσεις, συχνά ο χώρος καταστάσεων ${\displaystyle S}$ είναι η πραγματική γραμμή ή οι φυσικοί αριθμοί, αλλά μπορεί να είναι ο ${\displaystyle n}$-διάστατος Ευκλείδειος χώρος ή πιο αφηρημένοι χώροι όπως οι χώροι Μπάναχ.^[30]

Περαιτέρω ορισμοί

Νόμος

Για μια στοχαστική διαδικασία ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$ που ορίζεται στο χώρο πιθανοτήτων ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, ο νόμος της στοχαστικής διαδικασίας ${\displaystyle X}$ ορίζεται ως το μέτρο ώθησης:

${\displaystyle \mu =P\circ X^{-1},}$

όπου ${\displaystyle P}$ είναι ένα μέτρο πιθανότητας, το σύμβολο ${\displaystyle \circ }$ δηλώνει τη σύνθεση συναρτήσεων και ${\displaystyle X^{-1}}$ είναι η προ-εικόνα της μετρήσιμης συνάρτησης ή, ισοδύναμα, η ${\displaystyle S^{T}}$-τιμή τυχαίας μεταβλητής ${\displaystyle X}$, όπου ${\displaystyle S^{T}}$ είναι ο χώρος όλων των δυνατών ${\displaystyle S}$-τιμών συναρτήσεων του ${\displaystyle t\in T}$, οπότε ο νόμος μιας στοχαστικής διαδικασίας είναι ένα μέτρο πιθανότητας.^{[25][103][112][113]}

Για ένα μετρήσιμο υποσύνολο ${\displaystyle B}$ του ${\displaystyle S^{T}}$, η προ-εικόνα του ${\displaystyle X}$ δίνει

${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}$

οπότε ο νόμος ενός ${\displaystyle X}$ μπορεί να γραφεί ως εξής:^[26]

${\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}$

Ο νόμος μιας στοχαστικής διαδικασίας ή μιας τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται επίσης νόμος πιθανότητας, κατανομή πιθανότητας ή κατανομή..^{[101][112][114][115][116]}

Περιορισμένες-διάστατες κατανομές πιθανοτήτων

Για μια στοχαστική διαδικασία ${\displaystyle X}$ με νόμο ${\displaystyle \mu }$, η πεπερασμένης διάστασης κατανομή για ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$ ορίζεται ως εξής:

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}$

Αυτό το μέτρο ${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$ είναι η κοινή κατανομή του τυχαίου διανύσματος ${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$; μπορεί να θεωρηθεί ως «προβολή» του νόμου ${\displaystyle \mu }$ σε ένα πεπερασμένο υποσύνολο του ${\displaystyle T}$.^[25][117]

Για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο ${\displaystyle C}$ της ${\displaystyle n}$-πολλαπλής καρτεσιανής δύναμης ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$, οι πεπερασμένης διάστασης κατανομές μιας στοχαστικής διαδικασίας ${\displaystyle X}$ μπορούν να γραφούν ως εξής:^[26]

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}$

Οι πεπερασμένης διάστασης κατανομές μιας στοχαστικής διαδικασίας ικανοποιούν δύο μαθηματικές συνθήκες γνωστές ως συνθήκες συνέπειας.^[38]

Εφαρμογή

Εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά

Μοντέλο Μπλακ-Σολς

Μια από τις πιο διάσημες εφαρμογές των στοχαστικών διαδικασιών στα χρηματοοικονομικά είναι το πρότυπο Μπλακ-Σολς για την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης. Το μοντέλο αυτό, που αναπτύχθηκε από τους Φίσερ Μπλακ, Μάιρον Σολς και Ρόμπερτ Σόλοου, χρησιμοποιεί τη γεωμετρική κίνηση Μπράουν, έναν ειδικό τύπο στοχαστικής διαδικασίας, για να περιγράψει τη δυναμική των τιμών των περιουσιακών στοιχείων.^[118][119] Το μοντέλο υποθέτει ότι η τιμή μιας μετοχής ακολουθεί μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου και παρέχει μια κλειστή λύση για την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου. Ο τύπος Μπλακ-Σολς είχε βαθύτατο αντίκτυπο στις χρηματοπιστωτικές αγορές, αποτελώντας τη βάση για μεγάλο μέρος των σύγχρονων συναλλαγών δικαιωμάτων προαίρεσης.

Η βασική υπόθεση του υποδείγματος Μπλακ-Σολς είναι ότι η τιμή ενός χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου, όπως μια μετοχή, ακολουθεί μια λογαριθμοκανονική κατανομή, με τις συνεχείς αποδόσεις της να ακολουθούν μια κανονική κατανομή. Αν και το μοντέλο έχει περιορισμούς, όπως η υπόθεση της σταθερής μεταβλητότητας, παραμένει ευρέως χρησιμοποιούμενο λόγω της απλότητας και της πρακτικής του σημασίας.

Στοχαστικά μοντέλα μεταβλητότητας

Μια άλλη σημαντική εφαρμογή των στοχαστικών διαδικασιών στη χρηματοοικονομική είναι τα μοντέλα στοχαστικής μεταβλητότητας, τα οποία στοχεύουν στην αποτύπωση της χρονικά μεταβαλλόμενης φύσης της μεταβλητότητας της αγοράς. Το υπόδειγμα Χέστον^[120] είναι ένα δημοφιλές παράδειγμα, το οποίο επιτρέπει στη μεταβλητότητα των τιμών των περιουσιακών στοιχείων να ακολουθεί τη δική της στοχαστική διαδικασία. Σε αντίθεση με το υπόδειγμα Μπλακ-Σολς, το οποίο υποθέτει σταθερή μεταβλητότητα, τα μοντέλα στοχαστικής μεταβλητότητας παρέχουν ένα πιο ευέλικτο πλαίσιο για τη μοντελοποίηση της δυναμικής της αγοράς, ιδίως σε περιόδους υψηλής αβεβαιότητας ή στρες στην αγορά.

Εφαρμογές στη Βιολογία

Δυναμική του πληθυσμού

Οι στοχαστικές διεργασίες στη βιολογία έχουν μια από τις κύριες εφαρμογές τους στη δυναμική των πληθυσμών. Σε αντίθεση με τα προσδιοριστικά μοντέλα, τα οποία υποθέτουν ότι οι πληθυσμοί μεταβάλλονται με προβλέψιμους τρόπους, τα στοχαστικά μοντέλα λαμβάνουν υπόψη την εγγενή τυχαιότητα στις γεννήσεις, τους θανάτους και τη μετανάστευση. Η διαδικασία γεννήσεων-θανάτων,^[121] ένα απλό στοχαστικό μοντέλο, περιγράφει πώς οι πληθυσμοί αυξομειώνονται με την πάροδο του χρόνου λόγω τυχαίων γεννήσεων και θανάτων. Αυτά τα μοντέλα είναι ιδιαίτερα σημαντικά όταν πρόκειται για μικρούς πληθυσμούς, όπου τα τυχαία γεγονότα μπορεί να έχουν μεγάλες επιπτώσεις, όπως στην περίπτωση απειλούμενων ειδών ή μικρών μικροβιακών πληθυσμών.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η διαδικασία διακλάδωσης,^[121] η οποία μοντελοποιεί την ανάπτυξη ενός πληθυσμού όπου κάθε άτομο αναπαράγεται ανεξάρτητα. Η διαδικασία διακλάδωσης χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψει την εξαφάνιση ή την έκρηξη πληθυσμών, ιδίως στην επιδημιολογία, όπου μπορεί να μοντελοποιήσει την εξάπλωση μολυσματικών ασθενειών σε έναν πληθυσμό.

Εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών

Τυχαίοι αλγόριθμοι

Οι στοχαστικές διαδικασίες διαδραματίζουν κρίσιμο ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών, ιδίως στην ανάλυση και την ανάπτυξη τυχαιοποιημένων αλγορίθμων. Αυτοί οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούν τυχαίες εισόδους για να απλοποιήσουν την επίλυση προβλημάτων ή να βελτιώσουν την απόδοση σε πολύπλοκες υπολογιστικές εργασίες. Επί παραδείγματι, οι αλυσίδες Μαρκόφ χρησιμοποιούνται ευρέως σε πιθανοτικούς αλγορίθμους για εργασίες βελτιστοποίησης και δειγματοληψίας, όπως αυτοί που χρησιμοποιούνται σε μηχανές αναζήτησης όπως η PageRank της Google^[122]. Αυτές οι μέθοδοι εξισορροπούν την υπολογιστική αποδοτικότητα με την ακρίβεια, καθιστώντας τες ανεκτίμητες για το χειρισμό μεγάλων συνόλων δεδομένων. Οι τυχαιοποιημένοι αλγόριθμοι εφαρμόζονται επίσης εκτενώς σε τομείς όπως η κρυπτογραφία, οι προσομοιώσεις μεγάλης κλίμακας και η τεχνητή νοημοσύνη, όπου η αβεβαιότητα πρέπει να διαχειρίζεται αποτελεσματικά^[122].

Θεωρία ουρών αναμονής

Μια άλλη σημαντική εφαρμογή των στοχαστικών διαδικασιών στην επιστήμη των υπολογιστών είναι η θεωρία ουρών αναμονής, η οποία μοντελοποιεί την τυχαία άφιξη και εξυπηρέτηση εργασιών σε ένα σύστημα^[123]]. Παραδείγματος χάριν, τα μοντέλα ουρών αναμονής βοηθούν στην πρόβλεψη καθυστερήσεων, στη διαχείριση της κατανομής πόρων και στη βελτιστοποίηση της απόδοσης σε διακομιστές ιστού και δίκτυα επικοινωνίας. Η ευελιξία των στοχαστικών μοντέλων επιτρέπει στους ερευνητές να προσομοιώνουν και να βελτιώνουν την απόδοση περιβαλλόντων με υψηλή κυκλοφορία. Για παράδειγμα, η θεωρία ουρών αναμονής είναι ζωτικής σημασίας για το σχεδιασμό αποδοτικών κέντρων δεδομένων και υποδομών υπολογιστικού νέφους^[124].

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Επιστήμες συμπεριφοράς
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Φυσικές επιστήμες
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Στατιστική μέθοδος
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Τοπολογικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Cinlar, Erhan (1 Φεβρουαρίου 2013). Introduction to Stochastic Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-49797-6. 
• Dobrow, Robert P. (7 Μαρτίου 2016). Introduction to Stochastic Processes with R. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-74065-1. 
• Prabhu, Narahari U. (2 Οκτωβρίου 2007). Stochastic Processes: Basic Theory And Its Applications. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-695-6. 
• Bhat, B. R. (2004). Stochastic Models: Analysis and Applications. New Age International. ISBN 978-81-224-1228-4. 
• Ross, Sheldon M. (28 Φεβρουαρίου 1995). Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-12062-9. 
• Brzezniak, Zdzislaw· Zastawniak, Tomasz (6 Δεκεμβρίου 2012). Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-0533-6. 
• Karlin, Samuel· Taylor, Howard E. (2 Δεκεμβρίου 2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN 978-0-08-057041-9. 
• Beichelt, Frank· Fatti, L. Paul (18 Οκτωβρίου 2001). Stochastic Processes and Their Applications. CRC Press. ISBN 978-0-415-27232-2. 
• Parzen, Emanuel (5 Μαΐου 2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-80471-2. 
• Cramér, Harald· Leadbetter, M. Ross (15 Ιανουαρίου 2013). Stationary and Related Stochastic Processes: Sample Function Properties and Their Applications. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15335-3. 
• Paul, Wolfgang· Baschnagel, Jörg (1999). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66560-1. 

Παραπομπές

1. Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. σελίδες 46, 47. 
2. L. C. G. Rogers· David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. σελ. 1. ISBN 978-1-107-71749-7. 
3. J. Michael Steele (2012). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. σελ. 29. ISBN 978-1-4684-9305-4. 
4. Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. σελίδες 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8. 
5. Iosif Ilyich Gikhman· Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. σελ. 1. ISBN 978-0-486-69387-3. 
6. Bressloff, Paul C. (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6. 
7. Van Kampen, N. G. (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3. 
8. Lande, Russell· Engen, Steinar· Sæther, Bernt-Erik (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7. 
9. Laing, Carlo· Lord, Gabriel J. (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923507-0. 
10. Paul, Wolfgang· Baschnagel, Jörg (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6. 
11. Dougherty, Edward R. (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3. 
12. Bertsekas, Dimitri P. (1996). Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case. Athena Scientific. ISBN 1-886529-03-5. 
13. Thomas M. Cover· Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. σελ. 71. ISBN 978-1-118-58577-1. 
14. Baron, Michael (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists (2nd έκδοση). σελ. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7. 
15. Baccelli, François· Blaszczyszyn, Bartlomiej (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. ISBN 978-1-60198-264-3. 
16. Steele, J. Michael (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7. 
17. Musiela, Marek· Rutkowski, Marek (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2. 
18. Shreve, Steven E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0. 
19. Jarrow, Robert· Protter, Philip (2004). «A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970». A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. σελίδες 75–80. doi:10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170. 
20. Stirzaker, David (2000). «Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary». The Mathematical Gazette 84 (500): 197–210. doi:10.2307/3621649. ISSN 0025-5572. 
21. Donald L. Snyder· Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. σελ. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0. 
22. Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). «What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes». International Statistical Review 80 (2): 253–268. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734. 
23. Gusak, Dmytro· Kukush, Alexander· Kulik, Alexey· Mishura, Yuliya· Pilipenko, Andrey (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. σελ. 21. ISBN 978-0-387-87862-1. 
24. Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. σελ. 42. ISBN 978-3-540-26312-8. 
25. Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. σελίδες 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7. 
26. John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. σελίδες 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1. 
27. Loïc Chaumont· Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. σελ. 175. ISBN 978-1-107-60655-5. 
28. Robert J. Adler· Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. σελίδες 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6. 
29. Samuel Karlin· Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. σελ. 27. ISBN 978-0-08-057041-9. 
30. Applebaum, David (2004). «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups». Notices of the AMS 51 (11): 1337. 
31. L. C. G. Rogers· David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. σελίδες 121–124. ISBN 978-1-107-71749-7. 
32. Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. σελίδες 294, 295. ISBN 978-1-118-59320-2. 
33. Samuel Karlin· Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. σελ. 26. ISBN 978-0-08-057041-9. 
34. Donald L. Snyder· Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. σελίδες 24, 25. ISBN 978-1-4612-3166-0. 
35. Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. σελ. 482. ISBN 978-81-265-1771-8. 
36. Alexander A. Borovkov (2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. σελ. 527. ISBN 978-1-4471-5201-9. 
37. Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. σελ. 120. ISBN 978-3-319-09590-5. 
38. Jeffrey S Rosenthal (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. σελίδες 177–178. ISBN 978-981-310-165-4. 
39. Peter E. Kloeden· Eckhard Platen (2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Science & Business Media. σελ. 63. ISBN 978-3-662-12616-5. 
40. Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Springer Science & Business Media. σελίδες 153–155. ISBN 978-0-387-21631-7. 
41. Πρότυπο:Cite OED
42. O. B. Sheĭnin (2006). Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums. NG Verlag. σελ. 5. ISBN 978-3-938417-40-9. 
43. Oscar Sheynin· Heinrich Strecker (2011). Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence. V&R unipress GmbH. σελ. 136. ISBN 978-3-89971-812-6. 
44. Doob, Joseph (1934). "Stochastic Processes and Statistics". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 20 (6): 376–379. Bibcode:1934PNAS...20..376D. doi:10.1073/pnas.20.6.376. PMC 1076423. PMID 16587907.
45. Khintchine, A. (1934). «Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse». Mathematische Annalen 109 (1): 604–615. doi:10.1007/BF01449156. ISSN 0025-5831. 
46. Kolmogoroff, A. (1931). «Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung». Mathematische Annalen 104 (1): 1. doi:10.1007/BF01457949. ISSN 0025-5831. 
47. Πρότυπο:Cite OED
48. Bert E. Fristedt· Lawrence F. Gray (2013). A Modern Approach to Probability Theory. Springer Science & Business Media. σελ. 580. ISBN 978-1-4899-2837-5. 
49. Bertsekas, Dimitri P.· Tsitsiklis, John N. (2002). Introduction to Probability. Athena Scientific. σελ. 273. ISBN 978-1-886529-40-3. 
50. Ibe, Oliver C. (2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. σελ. 11. ISBN 978-1-118-61793-9. 
51. Achim Klenke (2013). Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer. σελ. 347. ISBN 978-1-4471-5362-7. 
52. Gregory F. Lawler· Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. σελ. 1. ISBN 978-1-139-48876-1. 
53. Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. σελ. 136. ISBN 978-0-387-95313-7. 
54. Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. σελ. 383. ISBN 978-1-118-59320-2. 
55. Rick Durrett (2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. σελ. 277. ISBN 978-1-139-49113-6. 
56. Weiss, George H. (2006). «Random Walks». Encyclopedia of Statistical Sciences. σελ. 1. doi:10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN 978-0471667193. 
57. Aris Spanos (1999). Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data. Cambridge University Press. σελ. 454. ISBN 978-0-521-42408-0. 
58. Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. σελ. 81. ISBN 978-1-86094-555-7. 
59. Allan Gut (2012). Probability: A Graduate Course. Springer Science & Business Media. σελ. 88. ISBN 978-1-4614-4708-5. 
60. Geoffrey Grimmett· David Stirzaker (2001). Probability and Random Processes. OUP Oxford. σελ. 71. ISBN 978-0-19-857222-0. 
61. Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. σελ. 56. ISBN 978-1-86094-555-7. 
62. Brush, Stephen G. (1968). «A history of random processes». Archive for History of Exact Sciences 5 (1): 1–2. doi:10.1007/BF00328110. ISSN 0003-9519. 
63. Applebaum, David (2004). «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups». Notices of the AMS 51 (11): 1338. 
64. Iosif Ilyich Gikhman· Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. σελ. 21. ISBN 978-0-486-69387-3. 
65. Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. σελ. 471. ISBN 978-1-118-59320-2. 
66. Samuel Karlin· Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. σελίδες 21, 22. ISBN 978-0-08-057041-9. 
67. Ioannis Karatzas· Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. σελ. VIII. ISBN 978-1-4612-0949-2. 
68. Daniel Revuz· Marc Yor (2013). Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer Science & Business Media. σελ. IX. ISBN 978-3-662-06400-9. 
69. Jeffrey S Rosenthal (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. σελ. 186. ISBN 978-981-310-165-4. 
70. Donald L. Snyder· Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. σελ. 33. ISBN 978-1-4612-3166-0. 
71. J. Michael Steele (2012). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. σελ. 118. ISBN 978-1-4684-9305-4. 
72. Peter Mörters· Yuval Peres (2010). Brownian Motion. Cambridge University Press. σελίδες 1, 3. ISBN 978-1-139-48657-6. 
73. Ioannis Karatzas· Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. σελ. 78. ISBN 978-1-4612-0949-2. 
74. Ioannis Karatzas· Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. σελ. 61. ISBN 978-1-4612-0949-2. 
75. Steven E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. σελ. 93. ISBN 978-0-387-40101-0. 
76. Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. σελίδες 225, 260. ISBN 978-0-387-95313-7. 
77. Ioannis Karatzas· Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. σελ. 70. ISBN 978-1-4612-0949-2. 
78. Peter Mörters· Yuval Peres (2010). Brownian Motion. Cambridge University Press. σελ. 131. ISBN 978-1-139-48657-6. 
79. Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-555-7. 
80. Ioannis Karatzas· Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. ISBN 978-1-4612-0949-2. 
81. Applebaum, David (2004). «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups». Notices of the AMS 51 (11): 1341. 
82. Samuel Karlin· Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. σελ. 340. ISBN 978-0-08-057041-9. 
83. Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. σελ. 124. ISBN 978-1-86094-555-7. 
84. Ioannis Karatzas· Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. σελ. 47. ISBN 978-1-4612-0949-2. 
85. Ubbo F. Wiersema (2008). Brownian Motion Calculus. John Wiley & Sons. σελ. 2. ISBN 978-0-470-02171-2. 
86. Henk C. Tijms (2003). A First Course in Stochastic Models. Wiley. σελίδες 1, 2. ISBN 978-0-471-49881-0. 
87. D.J. Daley· D. Vere-Jones (2006). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods. Springer Science & Business Media. σελίδες 19–36. ISBN 978-0-387-21564-8. 
88. Mark A. Pinsky· Samuel Karlin (2011). An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press. σελ. 241. ISBN 978-0-12-381416-6. 
89. J. F. C. Kingman (1992). Poisson Processes. Clarendon Press. σελ. 38. ISBN 978-0-19-159124-2. 
90. D.J. Daley· D. Vere-Jones (2006). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods. Springer Science & Business Media. σελ. 19. ISBN 978-0-387-21564-8. 
91. J. F. C. Kingman (1992). Poisson Processes. Clarendon Press. σελ. 22. ISBN 978-0-19-159124-2. 
92. Samuel Karlin· Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. σελίδες 118, 119. ISBN 978-0-08-057041-9. 
93. Leonard Kleinrock (1976). Queueing Systems: Theory. Wiley. σελ. 61. ISBN 978-0-471-49110-1. 
94. Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press. σελ. 94. 
95. Martin Haenggi (2013). Stochastic Geometry for Wireless Networks. Cambridge University Press. σελίδες 10, 18. ISBN 978-1-107-01469-5. 
96. Sung Nok Chiu· Dietrich Stoyan· Wilfrid S. Kendall· Joseph Mecke (2013). Stochastic Geometry and Its Applications. John Wiley & Sons. σελίδες 41, 108. ISBN 978-1-118-65825-3. 
97. J. F. C. Kingman (1992). Poisson Processes. Clarendon Press. σελ. 11. ISBN 978-0-19-159124-2. 
98. Roy L. Streit (2010). Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing. Springer Science & Business Media. σελ. 1. ISBN 978-1-4419-6923-1. 
99. J. F. C. Kingman (1992). Poisson Processes. Clarendon Press. σελ. v. ISBN 978-0-19-159124-2. 
100. Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. σελ. 293. ISBN 978-1-118-59320-2. 
101. Alexander A. Borovkov (2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. σελ. 528. ISBN 978-1-4471-5201-9. 
102. Georg Lindgren· Holger Rootzen· Maria Sandsten (2013). Stationary Stochastic Processes for Scientists and Engineers. CRC Press. σελ. 11. ISBN 978-1-4665-8618-5. 
103. L. C. G. Rogers· David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. σελίδες 121, 122. ISBN 978-1-107-71749-7. 
104. Søren Asmussen (2003). Applied Probability and Queues. Springer Science & Business Media. σελ. 408. ISBN 978-0-387-00211-8. 
105. Aumann, Robert (December 1961). «Borel structures for function spaces». Illinois Journal of Mathematics 5 (4). doi:10.1215/ijm/1255631584. 
106. Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. σελίδες 93, 94. ISBN 978-3-540-26312-8. 
107. Donald L. Snyder· Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. σελ. 25. ISBN 978-1-4612-3166-0. 
108. Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. σελ. 104. ISBN 978-3-540-26312-8. 
109. Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. σελ. 296. ISBN 978-1-118-59320-2. 
110. Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. σελ. 493. ISBN 978-81-265-1771-8. 
111. Bernt Øksendal (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer Science & Business Media. σελ. 10. ISBN 978-3-540-04758-2. 
112. Peter K. Friz· Nicolas B. Victoir (2010). Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths: Theory and Applications. Cambridge University Press. σελ. 571. ISBN 978-1-139-48721-4. 
113. Sidney I. Resnick (2013). Adventures in Stochastic Processes. Springer Science & Business Media. σελίδες 40–41. ISBN 978-1-4612-0387-2. 
114. Ward Whitt (2006). Stochastic-Process Limits: An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Application to Queues. Springer Science & Business Media. σελ. 23. ISBN 978-0-387-21748-2. 
115. David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. σελ. 4. ISBN 978-0-521-83263-2. 
116. Daniel Revuz· Marc Yor (2013). Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer Science & Business Media. σελ. 10. ISBN 978-3-662-06400-9. 
117. L. C. G. Rogers· David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. σελ. 123. ISBN 978-1-107-71749-7. 
118. Black, Fischer; Scholes, Myron (1973). «The Pricing of Options and Corporate Liabilities». Journal of Political Economy 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062. ISSN 0022-3808. https://www.jstor.org/stable/1831029. 
119. Merton, Robert C. (July 2005), Theory of rational option pricing (2 έκδοση), WORLD SCIENTIFIC, σελ. 229–288, doi:10.1142/9789812701022_0008, ISBN 978-981-256-374-3, http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812701022_0008, ανακτήθηκε στις 2024-09-30 
120. Heston, Steven L. (1993). «A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options». The Review of Financial Studies 6 (2): 327–343. doi:10.1093/rfs/6.2.327. ISSN 0893-9454. https://www.jstor.org/stable/2962057. 
121. Ross, Sheldon M. (2010). Introduction to probability models (10th έκδοση). Amsterdam Heidelberg: Elsevier. ISBN 978-0-12-375686-2. 
122. Motwani, Rajeev· Raghavan, Prabhakar, επιμ. (1995). Randomized algorithms. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-81407-5. 
123. Shortle, John F.· Thompson, James M.· Gross, Donald· Harris, Carl M. (2017). Fundamentals of queueing theory. Wiley series in probability and statistics (Fifth έκδοση). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-94352-6. 
124. Fundamentals of queueing theory (5 έκδοση). Hoboken: John Wiley & Sons. 2018. ISBN 978-1-118-94356-4. 

• Applebaum, David (2004). «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups». Notices of the AMS 51 (11): 1336–1347. 
• Cramer, Harald (1976). «Half a Century with Probability Theory: Some Personal Recollections». The Annals of Probability 4 (4): 509–546. doi:10.1214/aop/1176996025. ISSN 0091-1798. 
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). «What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes». International Statistical Review 80 (2): 253–268. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734. 
• Jarrow, Robert· Protter, Philip (2004). «A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970». A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. σελίδες 75–91. doi:10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170. 
• Meyer, Paul-André (2009). «Stochastic Processes from 1950 to the Present». Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5 (1): 1–42. 
• Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1. 
• Robert J. Adler· Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6. 
• Pierre Brémaud (2013). Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3124-8. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0