Στροβιλισμός

Στον διανυσματικό λογισμό, ο στροβιλισμός είναι ένας διανυσματικός τελεστής ο οποίος περιγράφει την διαφορική περιστροφή ενός τριδιάστατου διανυσματικού πεδίου. Σε κάθε σημείο του πεδίου, ο στροβιλισμός αυτού του πεδίου αναπαριστάται από ένα διάνυσμα. Οι ιδιότητες αυτού του διανύσματος (μέτρο και κατεύθυνση) χαρακτηρίζουν την περιστροφή σε αυτό το σημείο.

Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση ${\displaystyle F(x,y,z)={\begin{bmatrix}f_{x}(x,y,z)\\f_{y}(x,y,z)\\f_{z}(x,y,z)\end{bmatrix}}}$ τότε ο στροβιλισμός της, είναι η επίσης διανυσματική συνάρτηση ${\displaystyle \nabla \times F=rotF=curlF={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\f_{x}&f_{y}&f_{z}\end{vmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{y}}{\partial z}}\\-{\frac {\partial f_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$. Η ορίζουσα με το εξωτερικό γινόμενο, παραβιάζει τους κανόνες της τυπικής γλώσσας καθώς οι τελεστές δεν εφαρμόζονται

άμεσα σε συναρτήσεις, αλλά χρησιμεύει ως μνημονικός κανόνας.

Αν υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε ένα κανάλι όπου τρέχει νερό, σε ένα πολύ συγκεκριμένο σημείο, τότε αν πολύ κοντά σε αυτό το σημείο, όλα τα μόρια νερού τρέχουν με ταχύτητα ιδίου μέτρου και κατεύθυνσης, δεν έχουμε στροβιλισμό. Αν π.χ. τα μόρια που έρχονται κάπως δεξιότερα είναι κατά τι πιο γρήγορα από αυτά που μας έρχονται από κάπως αριστερότερα, τότε έχουμε στροβιλισμό. Π.χ. μέσα σε ένα κανάλι με στρωτή ροή, τα μόρια νερού κοντά στα τοιχώματα κινούνται πιο αργά από ότι στο κέντρο του καναλιού, λόγω τριβής. Αυτό σημαίνει ότι παρότι έχουμε στρωτή ροή, έχουμε επίσης και στροβιλισμό. Κλασικό φαινόμενο στροβιλισμού είναι το να βγάλουμε το πώμα ενός νιπτήρα γεμάτου νερό.

Ιδιότητες

• ${\displaystyle \nabla \times (F+G)=\nabla \times F+\nabla \times G}$
• ${\displaystyle \nabla \times (cF)=c\nabla \times F}$ όταν ${\displaystyle c}$ μια σταθερά.
• ${\displaystyle \nabla \times (fF)=\nabla f\times F+f\nabla \times F}$ όπου η συνάρτηση ${\displaystyle f}$ είναι βαθμωτή συνάρτηση και ${\displaystyle F}$ διανυσματική διάστασης 3.
• ${\displaystyle \nabla \times \nabla \times F=\nabla (\nabla \cdot F)-\nabla ^{2}F=\nabla (\nabla \cdot F)-\Delta F}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)={\vec {0}}}$, δηλαδή ο στροβιλισμός της κλίσης ενός δυναμικού είναι μηδέν.
• ${\displaystyle \nabla \cdot (F\times G)=(\nabla \times F)\cdot G-F\cdot (\nabla \times G)}$.
• Αν ${\displaystyle \nabla \times F={\vec {0}}}$, τότε η ${\displaystyle F}$ είναι ένα αστρόβιλο πεδίο.

Παραπομπές

http://www.hellenica.de/Math/Telestis/TelestisAnadelta.html