Συζυγής ανάστροφος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, συζυγής ανάστροφος πίνακας (ή αλλιώς Ερμιτιανός συζυγής πίνακας) ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας του συζυγούς του. Πιο συγκεκριμένα, για τον πίνακα ${\displaystyle A}$ διαστάσεων ${\displaystyle n\times m}$, ο συζυγής ανάστροφος πίνακας ${\displaystyle A^{H}}$ είναι ο πίνακας διαστάσεων ${\displaystyle m\times n}$, ο οποίος ικανοποιεί

${\displaystyle (A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji}}$,

για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ και ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$.^{[1]:192[2]:6[3]:8} Επομένως,

${\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\begin{bmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\ldots &{\overline {A}}_{1n}\\{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\ldots &{\overline {A}}_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A}}_{m1}&{\overline {A}}_{m2}&\ldots &{\overline {A}}_{mn}\end{bmatrix}}.}$

Για παράδειγμα, ο συζυγής του ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}}$ είναι ο ${\displaystyle A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(1+4i)\\5&(7-2i)\end{bmatrix}}}$.

Ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται και ως ${\displaystyle A^{*}}$ και ${\displaystyle A^{\dagger }}$ Η ονομασία Ερμιτιανός προέρχεται από τον Σαρλ Ερμίτ.^[4]:473

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής ανάστροφός τους:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(9+2i)\\(7+3i)&10\\-5i&(6+5i)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad B^{H}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(4+8i)&(1-3i)\\(3+4i)&(5-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad C^{H}={\begin{bmatrix}(-5-7i)\\(8-2i)\\(1+i)\end{bmatrix}}}$

• Για οποιονδήποτε πραγματικό πίνακα ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A^{H}=A^{T}}$.
• Για οποιονδήποτε φανταστικό πίνακα ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A^{H}=-A^{T}}$. Για παράδειγμα,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}-3i&-7i\\6i&-4i\end{bmatrix}}}$

Ιδιότητες

Συνδυάζοντας τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα και τις ιδιότητες του συζυγούς πίνακα, έχουμε τις εξής ιδιότητες:

• Ο συζυγής ανάστροφος του συζυγούς ανάστροφου είναι ο αρχικός πίνακας, ${\displaystyle (A^{H})^{H}=A}$.^{[1]: 195 [5]:3}
• Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα ${\displaystyle A}$ με έναν μιγαδικό αριθμό ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle (cA)^{H}={\overline {c}}A^{H}}$.^{[1]: 195 [5]: 3}
• Ο συζυγής ανάστροφος του άθροισμα δύο πινάκων ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$ είναι το άθροισμα των συζυγών ανάστροφων, ${\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}$.^{[1]: 195 [2]: 11}
• Ο συζυγής ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$ είναι το γινόμενο των συζυγών ανάστροφων, ${\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}}$.^{[1]: 195 [2]: 11 [5]: 3}
• Το ίχνος του συζυγούς ανάστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{H})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}}$.
• Ο συζυγής ανάστροφος του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγούς ανάστροφου, ${\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}}$.
• Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή ${\displaystyle \operatorname {det} (A^{H})={\overline {\operatorname {det} (A)}}}$.^[6]:205

Σχετικές έννοιες

• Ερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί ${\displaystyle A=A^{H}}$.
• Αντιερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί ${\displaystyle A=-A^{H}}$.

Δείτε επίσης

• Ανάστροφος πίνακας
• Συζυγής πίνακας

Παραπομπές

1. Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
2. Μπούταλης, Ι. (2022). «Στοιχεία από την Θεωρία Πινάκων» (PDF). Δημοκριτειο Πανεπιστήμειο Θράκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022. 
3. Πολύζος, Σ.· Τσιώτας, Δ. «Σημειώσεις μαθηματικών» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περ. Ανάπτυξης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022. 
4. Κολαϊτη, Μεμας (1976). Αγγλοελληνικόν λεξικόν των θεωρητικών και εφημορσμένων μαθηματικών. Εκδόσεις τεχνικού επιμελητηρίου της Ελλάδος. 
5. Μπεληγιάννης, Α. (2020). «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ: Ασκήσεις - Φυλλάδιο 9» (PDF). Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2022. 
6. Körner, T. W. (2012). Vectors, pure and applied : a general introduction to linear algebra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781139520034.