Συμμετρία ως προς σημείο

Το σημείο ${\displaystyle {\rm {A'}}}$ είναι συμμετρικό του ${\displaystyle {\rm {A'}}}$ ως προς το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Το τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ είναι συμμετρικό του ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ ως προς το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Στην γεωμετρία, ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {A}}}$ είναι συμμετρικό του σημείου ${\displaystyle {\rm {A'}}}$ ως προς το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$, αν το ${\displaystyle {\rm {O}}}$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\displaystyle {\rm {AA'}}}$. Το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ λέγεται το κέντρο συμμετρίας τους.^{[1]:82-85[2]:40}

Δύο γεωμετρικά σχήματα ${\displaystyle \Sigma }$ και ${\displaystyle \Sigma '}$ λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$, αν για κάθε σημείο ${\displaystyle {\rm {A}}}$ του ${\displaystyle \Sigma }$ το συμμετρικό του ανήκει στο ${\displaystyle \Sigma '}$ και αντίστροφα.

Κέντρο συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος ${\displaystyle \Sigma }$ ονομάζεται ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ για το οποίο το ${\displaystyle \Sigma }$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς το ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Παραδείγματα

• Το κέντρο ενός κύκλου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το κέντρο μίας έλλειψης είναι κέντρο συμμετρίας της.
• Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού εξαγώνου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Η γραφική παράσταση μίας περιττής συνάρτησης έχει ως κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Η τομή των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.

Μία έλλειψη και το κέντρο συμμετρίας της.

Ένα κανονικό εξάγωνο και το κέντρο συμμετρίας του.

Η ημερομηνία 9.10.2016 έχει κέντρο συμμετρίας.

Ο ρήγας έχει κέντρο συμμετρίας.

Ιδιότητες

• Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι ίσα.
• Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω ${\displaystyle {\rm {P}}=({\rm {P}}_{x},{\rm {P}}_{y})}$ και ${\displaystyle {\rm {O}}=({\rm {O}}_{x},{\rm {O}}_{y})}$ δύο σημεία του επιπέδου. Το συμμετρικό ${\displaystyle {\rm {P'}}}$ του ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ως προς το ${\displaystyle {\rm {O}}}$ δίνεται από την εξίσωση

${\displaystyle {\vec {\rm {P'}}}={\vec {\rm {P}}}-2\cdot ({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {O}}})=2\cdot {\vec {\rm {O}}}-{\vec {\rm {P}}}}$.

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του σημείου δίνονται από

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {P'}}_{x}\\{\rm {P'}}_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2{\rm {O}}_{x}-{\rm {P}}_{x}\\2{\rm {O}}_{y}-{\rm {P}}_{y}\end{pmatrix}}}$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρία ως προς άξονα
• Αντιδιαμετρικό σημείο

Παραπομπές

1. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. 
2. Altshiller-Court, Nathan (2007). College geometry: an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle (2η έκδοση). Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 9780486458052.