Ταυτοτική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, ταυτοτική συνάρτηση (ή ταυτοτική απεικόνιση) λέγεται η συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο στον εαυτό της. Πιο συγκεκριμένα, για ένα σύνολο ${\displaystyle S}$, η ταυτοτική συνάρτηση στο ${\displaystyle S}$ είναι η συνάρτηση ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}:S\to S}$, η οποία ικανοποιεί για κάθε στοιχείο ${\displaystyle x\in S}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}(x)=x}$.^{[1]:3[2]:67[3]:38}

Η ονομασία ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}}$ είναι συντομογραφία της λατινικής λέξης identity που σημαίνει ταυτότητα. Όταν το σύνολο ${\displaystyle S}$ είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, μπορεί να παραληφθεί, και η συνάρτηση γράφετε ως ${\displaystyle \mathrm {id} }$.^[4]:22

Παραδείγματα

Παραδείγματα ταυτοτικών συναρτήσεων

Ταυτοτική συνάρτηση στους φυσικούς αριθμούς.

Ταυτοτική συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς.

Ταυτοτική συνάρτηση στο σύνολο ${\displaystyle S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}}$.

• Για τους φυσικούς αριθμούς, η ταυτοτική συνάρτηση ικανοποιεί ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {N} }(1)=1,\mathrm {id} _{\mathbb {N} }(2)=2,\mathrm {id} _{\mathbb {N} }(3)=3,\ldots }$.
• Για το πεπερασμένο σύνολο ${\displaystyle S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}}$, η ταυτοτική συνάρτηση δίνεται από ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}(\alpha )=\alpha ,\mathrm {id} _{S}(\beta )=\beta ,\mathrm {id} _{S}(\gamma )=\gamma ,\mathrm {id} _{S}(\delta )=\delta }$.

Ιδιότητες

• Η συνάρτηση είναι επί, καθώς για κάθε στοιχείο ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}(s)=s}$.^[5]:173
• Η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, καθώς καθώς αν για δύο στοιχεία ${\displaystyle s_{1},s_{2}\in S}$ έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}(s_{1})=\mathrm {id} _{S}(s_{2})}$, τότε ${\displaystyle s_{1}=s_{2}}$.
• Έστω ${\displaystyle X}$ και ${\displaystyle Y}$ δύο σύνολα και ${\displaystyle X\to Y}$ το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το ${\displaystyle X}$ στο ${\displaystyle Y}$. Η συνάρτηση ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ είναι η δεξιά αντίστροφη ως προς τη σύνθεση συνάρτησης, καθώς για κάθε συνάρτηση ${\displaystyle f\in X\to Y}$, ισχύει ότι για κάθε ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle (f\circ \mathrm {id} _{X})(x)=f(\mathrm {id} _{X}(x))=f(x)}$.

Αντίστοιχα, η συνάρτηση ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}}$ είναι η αριστερή αντίστροφη.^[3]: 38-39

• Επομένως, έπεται ότι η ταυτοτική συνάρτηση έχει ως αντίστροφο τον εαυτό της.^[6]:4
• Η ταυτοτική συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {R} }}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.^[1]: 188

Παραπομπές

1. Αδάμ, Μ.· Χατζάρας, Ι.· Ασημάκης, Ν. (2016). Μαθηματική Ανάλυση. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-392-6. 
2. Κουκλάδας, Α.· Γεωργιακάκης, Π. (1974). Άλγεβρα 1: Ακολουθίαι Συναρτήσεις. Αθήνα. 
3. Μαμούρης, Αθανάσιος (1977). Συναρτήσεις Λυμένα Θέματα: για τους υποψηφίους ανωτάτων σχολών και τους μαθητάς λυκείων. Αθήνα. 
4. Μπούλιαρης, Μ. (1981). Συναρτήσεις: Ύλη κορμού επιλογής Γ'Λυκείου. Αθήνα: Κέντρο Μαθηματικών Μελετών. 
5. Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (7η έκδοση). Harlow, Essex: Pearson Education. ISBN 9781292037592. 
6. Θεοχάρη-Αποστολάκη, Θεοδώρα (2015). Εισαγωγή στην Θεωρία Ομάδων. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-334-6.