Τοπικός χρόνος (μαθηματικά)

Ένα δείγμα διαδρομής μιας διαδικασίας του Ιτο μαζί με την επιφάνεια των τοπικών χρόνων της.

Στη μαθηματική θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, ο τοπικός χρόνος είναι μια στοχαστική διαδικασία που σχετίζεται με ημιμαρτυρικές διαδικασίες, όπως η κίνηση Μπράουν, η οποία χαρακτηρίζει το χρονικό διάστημα που ένα σωματίδιο έχει περάσει σε ένα δεδομένο επίπεδο. Ο τοπικός χρόνος εμφανίζεται σε διάφορους τύπους στοχαστικής ολοκλήρωσης, όπως ο τύπος του Τανάκα, εάν το ολοκλήρωμα δεν είναι επαρκώς ομαλό. Μελετάται επίσης στη στατιστική μηχανική στο πλαίσιο τυχαίων πεδίων.

Επίσημος ορισμός

Για μια συνεχή ημι-martingale^[1] με πραγματικές τιμές ${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$, ο τοπικός χρόνος της ${\displaystyle B}$ στο σημείο ${\displaystyle x}$ είναι η στοχαστική διαδικασία που ορίζεται ανεπίσημα ως εξής

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},}$

όπου ${\displaystyle \delta }$ είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ και ${\displaystyle [B]}$ είναι η τετραγωνική μεταβολή. Πρόκειται για μια έννοια που εφευρέθηκε από τον Πολ Λεβί^[2]. Η βασική ιδέα είναι ότι το ${\displaystyle L^{x}(t)}$ είναι ένα (κατάλληλα αναβαθμισμένο και χρονικά παραμετροποιημένο) μέτρο του πόσο χρόνο έχει περάσει το ${\displaystyle B_{s}}$ στο ${\displaystyle x}$ έως τη χρονική στιγμή ${\displaystyle t}$. Πιο συγκεκριμένα, μπορεί να γραφεί ως το σχεδόν βέβαιο όριο

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},}$

η οποία μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει πάντα. Σημειώστε ότι στην ειδική περίπτωση της κίνησης Μπράουν (ή γενικότερα μιας διάχυσης πραγματικών τιμών της μορφής ${\displaystyle dB=b(t,B)\,dt+dW}$ όπου ${\displaystyle W}$ είναι μια κίνηση Μπράουν), ο όρος ${\displaystyle d[B]_{s}}$ απλά ανάγεται σε ${\displaystyle ds}$, γεγονός που εξηγεί γιατί ονομάζεται τοπικός χρόνος του ${\displaystyle B}$ στο ${\displaystyle x}$. Για μια διακριτή διαδικασία χώρου καταστάσεων ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$, ο τοπικός χρόνος μπορεί να διατυπωθεί απλούστερα ως εξής^[3]

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.}$

Τύπος του Τανάκα

Ο τύπος του Τανάκα παρέχει επίσης έναν ορισμό του τοπικού χρόνου για μια αυθαίρετη συνεχή ημιμαρτυρία ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$ στο ${\displaystyle \mathbb {R} :}$^[4]

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

Μια πιο γενική μορφή αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τους Μάγιερ^[5] και Γουάνγκ^[6]. Ο τύπος επεκτείνει το λήμμα του Ιτό για δύο φορές διαφορίσιμες συναρτήσεις σε μια πιο γενική κατηγορία συναρτήσεων. Αν ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ είναι απολύτως συνεχής με παράγωγο ${\displaystyle F',}$ η οποία είναι περιορισμένης μεταβολής, τότε

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),}$

όπου ${\displaystyle F'_{-}}$ είναι η αριστερή παράγωγος.

Αν ${\displaystyle X}$ είναι μια κίνηση Μπράουν, τότε για κάθε ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$ το πεδίο των τοπικών χρόνων ${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$ έχει μια τροποποίηση που είναι α. s. Χάλντερ συνεχής στο ${\displaystyle x}$ με εκθέτη ${\displaystyle \alpha }$, ομοιόμορφα για περιορισμένα ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle t}$.^[7]. Γενικά, το ${\displaystyle L}$ έχει μια τροποποίηση που είναι a.s. συνεχής στο ${\displaystyle t}$ και càdlàg στο ${\displaystyle x}$.

Ο τύπος του Τανάκα παρέχει τη ρητή αποσύνθεση Ντουμπ-Μάγιερ για τη μονοδιάστατη ανακλαστική κίνηση Μπράουν, ${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$..

Θεωρήματα Ρέι-Νάιτ

Το πεδίο των τοπικών χρόνων ${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$ που συνδέεται με μια στοχαστική διαδικασία σε ένα χώρο ${\displaystyle E}$ είναι ένα καλά μελετημένο θέμα στην περιοχή των τυχαίων πεδίων. Τα θεωρήματα τύπου Ρέι-Νάιτ συσχετίζουν το πεδίο L_t με μια σχετική διαδικασία Γκάους.

Σε γενικές γραμμές, τα θεωρήματα Ρέι-Νάιτ του πρώτου τύπου εξετάζουν το πεδίο L_t σε μια χρονική στιγμή κρούσεως της υποκείμενης διεργασίας, ενώ τα θεωρήματα του δεύτερου τύπου αφορούν τη χρονική στιγμή στάσης κατά την οποία το πεδίο τοπικού χρόνου υπερβαίνει για πρώτη φορά μια δεδομένη τιμή.

Πρώτο θεώρημα Ρέι-Νάιτ

Έστω (B_t)_{t ≥ 0} μια μονοδιάστατη κίνηση Μπράουν με αφετηρία B₀ = a > 0, and (W_t)_t≥0 μια τυπική δισδιάστατη κίνηση Μπράουν με αφετηρίαW₀ = 0 ∈ R². Ορίζουμε το χρόνο διακοπής κατά τον οποίο η B προσκρούει για πρώτη φορά στην αρχή, ${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$. Οι Ρέι ^[8] και Νάιτ ^[9] (ανεξάρτητα) έδειξαν ότι

${\displaystyle \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,}$

(1)

όπου (L_t)_{t ≥ 0} είναι το πεδίο των τοπικών χρόνων του (B_t)_{t ≥ 0}, και η ισότητα είναι σε κατανομή στο C[0, a]. Η διαδικασία |W_x|² είναι γνωστή ως τετραγωνική διαδικασία Μπεσέλ.

Δεύτερο θεώρημα Ρέι-Νάιτ

Έστω (B_t)_{t ≥ 0} μια τυπική μονοδιάστατη κίνηση Μπράουν B₀ = 0 ∈ R, και έστω (L_t)_{t ≥ 0} το σχετικό πεδίο τοπικών χρόνων. Θεωρούμε ότι T_a είναι ο πρώτος χρόνος κατά τον οποίο ο τοπικός χρόνος στο μηδέν υπερβαίνει το a > 0

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

Έστω (W_t)_{t ≥ 0} μια ανεξάρτητη μονοδιάστατη κίνηση Brown με αφετηρία W₀ = 0,, τότε^[10]

${\displaystyle \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,}$

(2)

Αντίστοιχα, η διαδικασία ${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$ (η οποία είναι μια διαδικασία στη χωρική μεταβλητή ${\displaystyle x}$) είναι ίση ως προς την κατανομή με το τετράγωνο μιας 0-διάστατης διαδικασίας Μπεσέλ με αφετηρία το ${\displaystyle a}$, και ως τέτοια είναι μαρκοβιανή.

Γενικευμένα θεωρήματα Ρέι-Νάιτ

Αποτελέσματα τύπου Ρέι-Νάιτ για γενικότερες στοχαστικές διαδικασίες έχουν μελετηθεί εντατικά, και ανάλογες δηλώσεις τόσο της (1) όσο και της (2) είναι γνωστές για ισχυρά συμμετρικές διαδικασίες Μαρκόφ.

Δημοσιεύσεις

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
• M. Marcus and J. Rosen, Markov Processes, Gaussian Processes, and Local Times, 1st edition, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1
• P. Mörters and Y. Peres, Brownian Motion, 1st edition, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν
• Σύστημα-L

Παραπομπές

1. «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου» (PDF). 
2. «Paul Lévy - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Δεκεμβρίου 2023. 
3. Karatzas, Ioannis· Shreve, Steven (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. 
4. Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. σελίδες 428–449. ISBN 0387949577. 
5. Meyer, Paul-Andre (2002) [1976]. «Un cours sur les intégrales stochastiques». Séminaire de probabilités 1967–1980. Lect. Notes in Math. 1771. σελίδες 174–329. doi:10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN 978-3-540-42813-8. 
6. Wang (1977). «Generalized Itô's formula and additive functionals of Brownian motion». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 41 (2): 153–159. doi:10.1007/bf00538419. 
7. Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. σελίδες 370. ISBN 0387949577. 
8. Ray, D. (1963). «Sojourn times of a diffusion process». Illinois Journal of Mathematics 7 (4): 615–630. doi:10.1215/ijm/1255645099.
   MR 0156383
   .
   Zbl 0118.13403
   . 
9. Knight, F. B. (1963). «Random walks and a sojourn density process of Brownian motion». Transactions of the American Mathematical Society 109 (1): 56–86. doi:10.2307/1993647. 
10. Marcus· Rosen (2006). Markov Processes, Gaussian Processes and Local Times. New York: Cambridge University Press. σελίδες 53–56. ISBN 0521863007.