Τροχιακή παγίδα

Σύνολο Μάντελμπροτ που αποδίδεται χρησιμοποιώντας έναν συνδυασμό τροχιακών παγίδων σε σχήμα σταυρού και σημείου..

Στα μαθηματικά, η τροχιακή παγίδα[1] είναι μια μέθοδος χρωματισμού μορφοκλασματικών εικόνων με βάση το πόσο κοντά σε ένα γεωμετρικό σχήμα, που ονομάζεται "παγίδα", βρίσκεται μια επαναληπτική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία του φράκταλ.[2] Τυπικές παγίδες αποτελούν τα σημεία, οι γραμμές, οι κύκλοι, τα σχήματα λουλουδιών και ακόμη και οι εικόνες ράστερ. Οι παγίδες τροχιάς χρησιμοποιούνται συνήθως για τον χρωματισμό δισδιάστατων φράκταλ που αναπαριστούν το μιγαδικό επίπεδο.

Παραδείγματα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Τροχιακές παγίδες ενός συνόλου Μάντελμπροτ μέσω χρωματισμού ουράνιου τόξου

Προσδιορισμός με βάση τα σημεία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια τροχιακή παγίδα με βάση ένα σημείο χρωματίζει ένα σημείο σύμφωνα με την εγγύτητα της τροχιάς μιας συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο, συνήθως το αρχικό σημείο.[3]

Κινούμενη εικόνα του συνόλου Julia, με μεταβαλλόμενη περιοχή υποστήριξης της εικόνας, που χρησιμοποιείται ως τροχιακή παγίδα.

Με βάση τη γραμμή

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια τροχιακή παγίδα με βάση τις γραμμές χρωματίζει ένα σημείο με βάση το πόσο κοντά βρίσκεται η τροχιά μιας συνάρτησης σε μία ή περισσότερες γραμμές, συνήθως κάθετες ή οριζόντιες (γραμμές x=a ή y=a). Οι Μίσχοι του Πίκοβερ είναι ένα παράδειγμα τροχιακής παγίδας με βάση τη γραμμή που χρησιμοποιεί δύο γραμμές.

Αλγόριθμος

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι τροχιακές παγίδες χρησιμοποιούνται γενικά με την κατηγορία των δισδιάστατων φράκταλ που βασίζονται σε μια επαναληπτική συνάρτηση. Ένα πρόγραμμα που δημιουργεί ένα τέτοιο φράκταλ χρωματίζει κάθε εικονοστοιχείο, το οποίο αντιπροσωπεύει διακριτά σημεία στο μιγαδικό επίπεδο, με βάση τη συμπεριφορά των σημείων αυτών όταν διέρχονται από μια συνάρτηση σε ορισμένο αριθμό φορών.[4]

Το πιο γνωστό παράδειγμα αυτού του είδους φράκταλ είναι το σύνολο Μάντελμπροτ, το οποίο βασίζεται στη συνάρτηση zn+1 = zn2 + c. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος χρωματισμού των εικόνων Μάντελμπροτ είναι να λαμβάνεται ο αριθμός των επαναλήψεων που απαιτούνται για να επιτευχθεί μια συγκεκριμένη τιμή διάσωσης και στη συνέχεια να αποδίδεται στην τιμή αυτή ένα χρώμα. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται αλγόριθμος χρόνου διαφυγής.[5]

Ένα πρόγραμμα που χρωματίζει το σύνολο Μάντελμπροτ χρησιμοποιώντας μια τροχιακή παγίδα βασισμένη σε σημεία θα αναθέσει σε κάθε εικονοστοιχείο μια μεταβλητή "απόστασης", η οποία συνήθως θα είναι πολύ υψηλή όταν ανατεθεί για πρώτη φορά: 

double distance = 10e5

Καθώς το πρόγραμμα περνάει τη μιγαδική τιμή μέσω της επαναληπτικής συνάρτησης θα ελέγχει την απόσταση μεταξύ κάθε σημείου της τροχιάς και του σημείο παγίδευσης. Η τιμή της μεταβλητής απόστασης θα είναι η μικρότερη απόσταση που θα βρεθεί κατά τη διάρκεια της επανάληψης: 

private double getDistance(Complex c,
                           Complex point,
                           int maxIteration)
{        
    double distance = 1e20;
    Complex z = new Complex(0, 0);
        
    for (int i=0; i<maxIteration; i++)
    {
        // Perform Mandelbrot iteration
        z = z.multiply(z);
        z = z.add(c);
               
        // Set new distance dist = min( dist, |z-point| )
        Complex zMinusPoint = new Complex(z);
        zMinusPoint = zMinusPoint.subtract(point);
            
        double zMinusPointModulus = zMinusPoint.magnitude();
        if (zMinusPointModulus < distance)
            distance = zMinusPointModulus;
    }
        
    return distance;
}

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δημοσιεύσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Carlson, Paul W. (1999), «Two artistic orbit trap rendering methods for Newton M-set fractals», Computers & Graphics 23 (6): 925–931, doi:10.1016/S0097-8493(99)00123-5 .
  • Lu, Jian; Ye, Zhongxing; Zou, Yuru; Ye, Ruisong (2005), «Orbit trap rendering methods for generating artistic images with crystallographic symmetries», Computers & Graphics 29 (5): 787–794, doi:10.1016/j.cag.2005.08.008 .

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ «Orbit Traps». www.mi.sanu.ac.rs. Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2024. 
  2. ↑ Katunin, Andrzej (5 Οκτωβρίου 2017). A Concise Introduction to Hypercomplex Fractals. CRC Press. ISBN 978-1-351-80121-8. 
  3. ↑ Scott, Alwyn (17 Μαΐου 2006). Encyclopedia of Nonlinear Science. Routledge. ISBN 978-1-135-45557-6. 
  4. ↑ «Fractal art using variations on escape time algorithms in the complex plane» (PDF). 
  5. ↑ Lu, Jian; Ye, Zhongxing; Zou, Yuru; Ye, Ruisong (2005-10-01). «Chaos and Graphics: Orbit trap rendering methods for generating artistic images with crystallographic symmetries». Computers and Graphics 29 (5): 787–794. doi:10.1016/j.cag.2005.08.008. ISSN 0097-8493. https://doi.org/10.1016/j.cag.2005.08.008.