Φρακτάλ της λέξης Fibonacci

Οι πρώτες επαναλήψεις

Το φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι μια φρακταλική καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο της λέξης Fibonacci.

Ορισμός

Αναπαράσταση του L-system ^[1]

Αυτή η καμπύλη κατασκευάζεται επαναληπτικά εφαρμόζοντας τον κανόνα σχεδίασης μονών-ζυγών στη λέξη Fibonacci 0100101001001...:

Για κάθε ψηφίο στη θέση k:

1. Σχεδιάστε ένα τμήμα προς τα εμπρός
2. Εάν το ψηφίο είναι 0:
   • Στρίψτε 90° προς τα αριστερά αν το k είναι ζυγός
   • Στρίψτε κατά 90° προς τα δεξιά αν το k είναι απόκλιση

Σε μια λέξη Fibonacci μήκους ${\displaystyle F_{n}}$ (ο n'^th αριθμός Fibonacci συνδέεται μια καμπύλη ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ που αποτελείται από τμήματα ${\displaystyle F_{n}}$. Η καμπύλη εμφανίζει τρεις διαφορετικές όψεις αν ο n είναι της μορφής 3k, 3k + 1, ή 3k + 2.

Ιδιότητες

Οι αριθμοί Fibonacci στο φράκταλ της λέξης Fibonacci.

Μερικές από τις ιδιότητες του φράκταλ της λέξης Fibonacci περιλαμβάνουν:^[2][3]

• Η καμπύλη ${\displaystyle {\mathcal {F_{n}}}}$ περιέχει ${\displaystyle F_{n}}$ τμήματα, ${\displaystyle F_{n-1}}$ ορθές γωνίες και ${\displaystyle F_{n-2}}$ επίπεδες γωνίες.
• Η καμπύλη δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της και δεν περιέχει διπλά σημεία. Στο όριο, περιέχει άπειρα σημεία ασυμπτωτικά κοντά.
• Η καμπύλη παρουσιάζει αυτο-ομοιότητες σε όλες τις κλίμακες. Ο λόγος αναγωγής είναι ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$. Αυτός ο αριθμός, που ονομάζεται επίσης λόγος αργύρου, είναι παρών σε μεγάλο αριθμό ιδιοτήτων που αναφέρονται παρακάτω.
• Ο αριθμός των αυτο-ομοιώσεων στο επίπεδο n είναι ένας αριθμός Fibonacci \ -1. (ακριβέστερα: ${\displaystyle F_{3n+3}-1}$).
• Η καμπύλη περικλείει μια απειρία τετραγωνικών δομών φθίνοντος μεγέθους σε αναλογία ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ (βλ. σχήμα). Ο αριθμός αυτών των τετραγωνικών δομών είναι ένας αριθμός Φιμπονάτσι.
• Η καμπύλη ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ μπορεί επίσης να κατασκευαστεί με διάφορους τρόπους (βλ. γκαλερί παρακάτω):
  • Επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων των 4 και 1 ομοιοθεσιών του λόγου ${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})}$ και ${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$
  • Συνδέοντας τις καμπύλες ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$ και ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-2}}$
  • Σύστημα Λιντενμάγιερ
  • Με μια επαναληπτική κατασκευή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
  • Με μια επαναληπτική κατασκευή οκτάγωνοων
• H διάσταση Χάουσντορφ (Hausdorff) του φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι ${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$, με ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ τη χρυσή τομή.
• Γενικεύοντας σε μια γωνία ${\displaystyle \alpha }$ μεταξύ 0 και ${\displaystyle \pi /2}$, η διάσταση Hausdorff της είναι ${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$, με ${\displaystyle a=\cos \alpha }$.
• Η διάσταση Hausdorff του συνόρου του είναι ${\displaystyle {\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$.
• Αν αλλάξουμε τους ρόλους του "0" και του "1" στη λέξη Fibonacci ή στον κανόνα σχεδίασης, προκύπτει μια παρόμοια καμπύλη, αλλά προσανατολισμένη κατά 45°.
• Από τη λέξη Fibonacci, μπορεί κανείς να ορίσει την "πυκνή λέξη Fibonacci", σε ένα αλφάβητο 3 γραμμάτων: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (ακολουθία A143667 στην OEIS). Η χρήση, σε αυτή τη λέξη, ενός πιο απλού κανόνα σχεδίασης, ορίζει ένα άπειρο σύνολο παραλλαγών της καμπύλης, μεταξύ των οποίων:
  • μια "διαγώνια παραλλαγή".
  • μια "παραλλαγή της σβάστικας" ** μια "παραλλαγή της σβάστικας"
  • μια "συμπαγής παραλλαγή".
• Εικάζεται ότι το φράκταλ της λέξης Φιμπονάτσι εμφανίζεται για κάθε λέξη Στουρμιού για την οποία η κλίση, γραμμένη σε συνεχές ανάπτυγμα κλάσματος, καταλήγει σε μια άπειρη ακολουθία από  "1 "s.

Έκθεση φωτογραφιών

• 
  Καμπύλη μετά από ${\displaystyle \textstyle {F_{23}}}$ επαναλήψεις.
• 
  Αυτο-ομοιότητες σε διαφορετικές κλίμακες.
• 
  Διαστάσεις.
• 
  Κατασκευή με αντιπαράθεση (1)
• 
  Κατασκευή με αντιπαράθεση (2)
• 
  Τάξη 18, με μερικά υποορθογώνια χρωματισμένα.
• 
• 
  Κατασκευή με επαναλαμβανόμενη καταστολή τετραγωνικών μοτίβων.
• 
  Κατασκευή με επαναληπτικά οκτάγωνα.
• 
  Κατασκευή με επαναληπτική συλλογή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
• 
  Με γωνία 60°.
• 
  Αντιστροφή του "0" και του "1".
• 
  Παραλλαγές που παράγονται από την πυκνή λέξη Fibonacci.
• 
  Η "συμπαγής παραλλαγή"
• 
  Η "παραλλαγή svastika"
• 
  Η "διαγώνια παραλλαγή"
• 
  Η παραλλαγή "π/8"
• 
  Δημιουργία του καλλιτέχνη (Σαμουέλ Μονιέ).

Το πλακίδιο Fibonacci

Ατελής πλακοστρωσία με το πλακίδιο Fibonacci. Το εμβαδόν του κεντρικού τετραγώνου τείνει στο άπειρο.

Η παράθεση τεσσάρων καμπυλών ${\displaystyle F_{3k}}$ επιτρέπει την κατασκευή μιας κλειστής καμπύλης που περικλείει μια επιφάνεια της οποίας το εμβαδόν δεν είναι μηδενικό. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται "πλακίδιο Φιμπονάτσι".

• Το πλακίδιο Fibonacci σχεδόν καλύπτει το επίπεδο. Η παράθεση 4 πλακιδίων (βλέπε εικόνα) αφήνει στο κέντρο ένα ελεύθερο τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν τείνει στο μηδέν καθώς το k τείνει στο άπειρο. Στο όριο, το άπειρο κεραμίδι Fibonacci καλύπτει το επίπεδο.
• Αν το πλακίδιο περικλείεται σε ένα τετράγωνο πλευράς 1, τότε το εμβαδόν του τείνει στο ${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}=0.5857}$.

Ιδανική τοποθέτηση πλακιδίων από τη νιφάδα χιονιού Fibonacci

Χιονονιφάδα Φιμπονάτσι

Χιονονιφάδες Fibonacci για i = 2 για n = 1 έως 4: ${\displaystyle \sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$, ${\displaystyle \sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$, ${\displaystyle \sideset {}{_{3}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$, ${\displaystyle \sideset {}{_{4}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$^[4]

Η χιονονιφάδα Fibonacci είναι ένα πλακίδιο Fibonacci που ορίζεται από:^[5]

• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$ if ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {3}}}$
• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ otherwise.

with ${\displaystyle q_{0}=\epsilon }$ and ${\displaystyle q_{1}=R}$, ${\displaystyle L=}$ "turn left" and ${\displaystyle R=}$ "turn right", and ${\displaystyle {\overline {R}}=L}$.

Ορισμένες αξιοσημείωτες ιδιότητες:^[5][6] Πρόκειται για το πλακίδιο Fibonacci που σχετίζεται με την "διαγώνια παραλλαγή" που ορίστηκε προηγουμένως.

• Επικαλύπτει το επίπεδο σε οποιαδήποτε σειρά.
• Καλύπτει το επίπεδο με μετατόπιση με δύο διαφορετικούς τρόπους.
• Η περίμετρός του σε τάξη n ισούται με ${\displaystyle 4F(3n+1)}$, όπου ${\displaystyle F(n)}$ είναι n'^ιοστός αριθμός Fibonacci.
• το εμβαδόν του στην τάξη n ακολουθεί τους διαδοχικούς δείκτες της μονής σειράς της ακολουθίας Pell (ορίζεται από τη σχέση ${\displaystyle P(n)=2P(n-1)+P(n-2)}$)

Δείτε επίσης

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Χρυσή τομή
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. Ramírez, José L.; Rubiano, Gustavo N. (2014). "Properties and Generalizations of the Fibonacci Word Fractal", The Mathematical Journal, Vol. 16.
2. Monnerot-Dumaine, Alexis (February 2009). "The Fibonacci word fractal", independent (hal.archives-ouvertes.fr).
3. Hoffman, Tyler; Steinhurst, Benjamin (2016). «Hausdorff Dimension of Generalized Fibonacci Word Fractals».
   arXiv:1601.04786
    [math.MG]
   . 

4. Ramírez, Rubiano, and De Castro (2014). "A generalization of the Fibonacci word fractal and the Fibonacci snowflake", Theoretical Computer Science, Vol. 528, p.40-56. [1]
5. Blondin-Massé, Alexandre, Brlek, Srečko, Garon, Ariane και Labbé, Sébastien (2009). "Christoffel and Fibonacci tiles", Lecture Notes in Computer Science: Discrete Geometry for Computer Imagery, σ. 67-8. Springer. (ISBN 9783642043963).
6. A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendès-France (2011). "Fibonacci snowflakes".