Difinita dulineara funkcio

En matematiko, difinita dulineara funkcio estas dulineara funkcio B tia ke B(x, x) havas la saman signon (pozitivan aŭ negativan) por ĉiu nenula x.

Simile, duondifinita dulineara funkcio estas dulineara funkcio B tia ke B(x, x) havas la saman signon (pozitivan aŭ negativan) aŭ estas nula por ĉiu x (ĉi tie jan ne bezonatas postili ke x estas nenula).

Ĉi tie x estas vektoro de reelaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj.

Ankaŭ, ĉi tie B estas hermita formo, kio estas ke B(x, y) estas kompleksa konjugito de B(y, x); alie, B(x, x) ne estus reela nombro.

Tiel:

B estas pozitive difinita se B(x, x) > 0 por ĉiu nenula x.

B estas pozitive duondifinita se B(x, x) ≥ 0 por ĉiu x.

B estas negative difinita se B(x, x) < 0 por ĉiu nenula x.

B estas negative duondifinita se B(x, x) ≤ 0 por ĉiu x.

Se B(x, x) prenas ambaŭ pozitivajn kaj negativajn valorojn do ĝi estas nedifinita.

Rilatantaj nocioj

Por donita hermita dulineara funkcio B, la funkcio

Q(x)=B(x, x)

estas kvadrata formo. La difinoj de difiniteco de B respektivas al difinoj de difiniteco de Q.

Kvadrata matrico estas pozitive difinita matrico se

x^TAx > 0 por ĉiu nenula vektoro x.

Ekzemplo

Por 2-dimensiaj reelaj x=(x₁, x₂) kaj y=(y₁, y₂) estu

B(x, y)=ax₁y₁ + bx₂y₂

kie a kaj b estas konstantoj. Tiam:

Se a>0 kaj b>0 do B estas pozitive difinita.

Se a≥0 kaj b≥0 do B estas pozitive duondifinita.

Se a<0 kaj b<0 do B estas negative difinita.

Se a≤0 kaj b≤0 do B estas negative duondifinita.

Se a kaj b estas de malsamaj signoj do B estas nedifinita.