Diverĝenca teoremo

En vektora kalkulo, la diverĝenca teoremo, aŭ gaŭsa teoremo aŭ teoremo de Ostrogradskij aŭ teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso estas interrilato inter la fluo eksteren de vektora kampo tra surfaco kaj la konduto de la vektora kampo ene de la surfaco.

La diverĝenca teoremo statas ke la fluo de vektora kampo tra surfaco estas egala al la triopa integraĵo de la diverĝenco en la regiono ene de la surfaco. Intuicie, ĝi statas ke la sumo de intensecoj de ĉiuj fontoj de fluo (minus la sumo de intensecoj de ĉiuj finoj de la fluo) egalas al fluo el la regiono.

La diverĝenca teoremo estas grava rezulto por fiziko, aparte elektrostatiko kaj fluidaĵ-dinamiko.

Formuloj

Estu V subaro de Rⁿ (kutime n=3) kiu estas kompakta kaj havas popece glatan randon. Se F estas kontinue diferencialebla vektora kampo difinita sur najbaraĵo de V, tiam

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

kie ∂V estas la rando de V orientita per eksteren-montranta surfaca normalo N kaj dS estas Nds kie ds estas diferencialo de areo de la rando ∂V.

La diverĝenca teoremo estas ofte aplikita en ĉi tiuj variantoj:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

(ĉi tiu estas la bazo por identoj de Green, se ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$),

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla gdV=\iint \limits _{\partial V}gd\mathbf {S} }$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {S} }$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \times \mathbf {F} dV=\iint \limits _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {F} }$

La diverĝenca teoremo estas speciala okazo de la pli ĝenerala teoremo de Stokes kiu ĝeneraligas la fundamentan teoremon de kalkulo.

Ekzemplo de uzo

Supozu ke oni deziras komputi ${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS}$, kie S estas la unuobla sfero W kun ekvacio ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ kaj F estas la vektora kampo ${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} }$ kie i, j, k estas la tri ortoj de la koordinataj aksoj. La direkta kalkulado de ĉi tiu integralo estas sufiĉe malfacila, sed ĝi povas esti plisimpligita per la diverĝenca teoremo:

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS=\iiint \limits _{W}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=2\iiint \limits _{W}\left(1+y+z\right)dV}$

${\displaystyle =2\iiint \limits _{W}dV+2\iiint \limits _{W}ydV+2\iiint \limits _{W}zdV}$

Per simetrio

${\displaystyle \iiint \limits _{W}ydV=\iiint \limits _{W}zdV=0}$

Pro tio

${\displaystyle 2\iiint \limits _{W}\left(1+y+z\right)dV=2\iiint \limits _{W}dV={\frac {8\pi }{3}}}$

ĉar la unuobla sfero W havas volumenon 4π/3.

Aplikoj

Elektrostatiko

Aplikita al elektra kampo ĝi donas la gaŭsan leĝon.

Gravito

Aplikita al gravita kampo ĝi donas ke la surfaca integralo estas -4πG multiplikita je la maso ene, sendistinge de tio kiel la maso estas distribuita, kaj sendistinge de masoj ekstere.

Sfere simetria masa distribuo

Ĉe sfere simetria masa distribuo oni povas konkludi de ĉi tie ke la kampa forteco je distanco r de la centro estas mG/r² kie m estas la ena maso.

Tiel ekzemple, kaldrona sfero ne produktas gravito ene. La gravita kampo ene estas la sama kvazaŭ la kaldrona sfero ne estus tie.

Cilindre simetria masa distribuo

Ĉe malfinia cilindre simetria masa distribuo oni povas konkludi ke la kampa forteco je distanco r de la centra akso estas 2Gρ/r kie ρ estas maso por unuo de longo je pli malgranda al la akso distanco, sendistinge de ĉiuj masoj je pli granda distanco.

Ekzemple, malfinia kaldrona cilindro ne produktas graviton ene.

Telero de Bouguer

Ni povas konkludi ke por malfinia ebena telero (telero de Bouguer) de dikeco H gravito ekster la telero estas orta al la telero, kun grandeco 2πGq kie q estas la maso por unuo de areo, sendependa de la distanco de la telero (vidu ankaŭ en gravita anomalio).

Tiel, kombinaĵo de du egalaj paralelaj malfiniaj teleroj ne produktas graviton ene.

Historio

La teoremo estis unua esplorita de Joseph-Louis de Lagrange en 1762, kaj poste sendepende reesplorita de Carl Friedrich Gauss en 1813, per George Green en 1825 kaj de Miĥail Vasilieviĉ Ostrogradskij en 1831, kiu ankaŭ donis la unuan pruvon de la teoremo.

Vidu ankaŭ

• Vektora kalkulo
• Gradienta teoremo
• Teoremo de Green
• Teoremo de Kelvino-Stokes

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Diverĝenca teoremo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• [1] Arkivigite je 2002-10-29 per la retarkivo Wayback Machine je PlanetMath