Faktoreca ringo

En ringo-teorio, faktoreca ringo^[1] estas integreca ringo, kies ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de nemalkomponeblaj elementoj, esence unike.

Difino

Pri integreca ringo ${\displaystyle R}$, la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

• (Unikeco de faktorigo per nemalkomponeblaj elementoj) ĉiu nenula elemento ${\displaystyle x\in R}$ estas esprimebla kiel produto de la nemalkomponeblaj elementoj de ${\displaystyle R}$ kaj inversigebla elemento, kaj tia esprimo estas unika je la senco ke, se ${\displaystyle x=up_{1}p_{2}\dotsm p_{m}=vq_{1}q_{2}\dotsm q_{n}}$ kaj ${\displaystyle u,v\in R^{\times }}$ kaj ${\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{m},q_{1},\dotsc ,q_{n}}$ estas nemalkomponeblaj, do ① ${\displaystyle m=n}$, kaj ② ekzistas permuto ${\displaystyle \sigma \colon \{1,\dotsc ,m\}\to \{1,\dotsc ,n\}}$ kaj inversigeblaj elementoj ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}\in R^{\times }}$ tiaj ke ${\displaystyle p_{i}=w_{i}q_{\sigma (i)}}$ por ĉiu ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,m\}}$.
• (Faktorigeblo per primaj elementoj) ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de inversigebla elemento kaj nul, unu, aŭ pluraj prima(j) elemento(j).
• Ĉiu nenula prima idealo de ${\displaystyle R}$ enhavas priman elementon.

Ringo plenumanta la ĉi-suprajn kondiĉojn nomiĝas faktoreca ringo.

Ekzemploj

Ĉiu ĉefideala integreca ringo estas faktoreca ringo.

Referencoj

1. Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: faktor/ec/a

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Unique factorization domain en MathWorld.