Formala potencoserio

En algebro, formala potencoserio estas formala sumo de senfina vico de termoj, kiuj estas potencoj de iu formala variablo. En tia kunteksto principe ne temas pri konverĝo. La formalaj potencoserioj formas ringon, simile al la ringo de polinomoj.

Difino

Supozu ke ${\displaystyle K}$ estas ringo. Do, formala potencoserio estas esprimo de la formo

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

specifita de vico ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc \in K}$. La esprimo ne devas plenumi ajnan kondiĉon pri konverĝo; ${\displaystyle x}$ estas nur formala variablo.

La formalaj potencoserioj povas esti adiciataj kaj multiplikataj:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})x^{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}}$.

Tial, la formalaj potencoserioj formas ringon, kies notacio estas ${\displaystyle K[[x]]}$.

Propraĵoj

Se ${\displaystyle K}$ estas komuta ringo, do la ringo de formalaj potencoserioj ${\displaystyle K[[x]]}$ estas ankaŭ komuta.

Supozu ke ${\displaystyle K}$ estas kampo. Tiam la inversigeblaj elementoj de la ringo ${\displaystyle K[[x]]}$ estas precize tiuj, kies nula koeficiento estas nenula:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},\quad (a_{0}\neq 0)}$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Formal power series en MathWorld.