Geodezia linio

En diferenciala geometrio, geodezia linio estas linio, kiu estas laŭeble rekta sur glata sternaĵo. En la ĝenerala teorio de relativeco, punkta partiklo moviĝas laŭ geodezia kurbo, sub la efiko de gravito.

Difino

Supozu ke ${\displaystyle M}$ estas glata sternaĵo, kune kun afina konekto

${\displaystyle \nabla \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes \Gamma (\mathrm {T} M)\to \Gamma (\mathrm {T} M)}$.

Konsideru glatan kurbon

${\displaystyle \gamma \colon (a,b)\to M}$.

La kurbo estas geodezia kurbo, se kaj nur se ĝi plenumas la ĉi-subajn kondiĉojn:

• Ĉe ajna tempo ${\displaystyle t}$, ekzistas ĉirkaŭaĵo ${\displaystyle (t-\epsilon ,t+\epsilon )}$ de ${\displaystyle t}$ kaj ankaŭ ĉirkaŭaĵo ${\displaystyle U\supseteq \gamma ((t-\epsilon ,t+\epsilon ))}$ de la bildaro de la limigaĵo ${\displaystyle \gamma \upharpoonright (t-\epsilon ,t+\epsilon )}$, tiaj ke pri ajna vektora kampo ${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} U)}$ sur ${\displaystyle U}$, se ${\displaystyle X(\gamma (s))={\dot {\gamma }}(s)}$ ĉe ĉiu ${\displaystyle s\in (t-\epsilon ,t+\epsilon )}$, do la jena ekvacio, la geodezia ekvacio estas vera:
• :${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(s)}X|_{\gamma (s)}=0\quad \forall s\in (t-\epsilon ,t+\epsilon )}$.

Fakte, la geodezia ekvacio ne dependas de la plivastigo ${\displaystyle X}$ de ${\displaystyle \gamma }$; eksplicite, per lokaj koordinatoj ${\displaystyle x^{i}}$, la geodezia ekvacio aspektas jene:

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{i}(s)+\Gamma _{jk}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}(t){\dot {\gamma }}^{k}(t)=0}$.

En tiu, ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ estas la komponantoj de la afina konekto ${\displaystyle \nabla }$ (la simboloj de Christoffel, se la konekton difinas rimana metriko).

Propraĵoj

La geodezia ekvacio estas duaorda ordinara diferenciala ekvacio. Tial, geodezia kurbo ĉiam ekzistas loke en ajna direkto. Eksplicite, sur glata sternaĵo ${\displaystyle M}$, ĉe ajna punkto ${\displaystyle x\in M}$ kaj ajna tanĝa vektoro ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{x}M}$, ekzistas pozitiva reelo ${\displaystyle \epsilon >0}$ kaj geodezia kurbo

${\displaystyle \gamma \colon (-\epsilon ,\epsilon )\to M}$

tiaj ke

${\displaystyle \gamma (0)=x}$

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}$.

Krome, la ĉi-supra geodezia kurbo estas loke unika.

Tamen, ne estas ĉiam vera, ke la geodezia kurbo povas ekzisti senfindaŭre, t.e. difinite sur la argumentaro ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Ekzemploj

Sur eŭklida spaco, la geodeziaj kurboj estas rektoj. Sur sfero, la geodeziaj kurboj estas la ĉefcirkloj.

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Geodezia linio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Eric W. Weisstein, Geodesic en MathWorld.