Kurbo de Bézier

En la matematika subkorpo de cifereca analitiko kurbo de Beziero (ang. Bézier curve) estas parametra kurbo grava en komputila grafiko. Ĝeneraligoj de Bézier kurboj al pli altaj dimensioj estas nomata kiel surfaco de Bézier (ang. Bézier surface).

Kurbo de Bézier estis larĝe publikigita en 1962 de la franca inĝeniero Pierre Bézier, kiu uzis ilin por desajni karoseriojn de aŭtoj. La kurboj estis unue ellaboritaj en 1959 de Paul de Casteljau per la algoritmo de Casteljau, kio estas ciferece stabila metodo al evaluado de kurboj de Bézier.

Linearaj kurboj de Bézier

Por donitaj punktoj P₀ kaj P₁, lineara Kurbo de Bézier estas rekta streko inter ĉi tiuj du punktoj. La kurbo estas donita per

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

Kvadrataj kurboj de Bézier

Kvadrata kurbo de Bézier estas la vojo spurata per la funkcio B(t), por donitaj punktoj P₀, P₁, kaj P₂:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

TTF-tiparoj uzas laŭpartajn interpolajn funkciojn de Bézier komponitajn el la kvadrataj kurboj de Bézier.

Kubaj kurboj de Bézier

Kuba kurbo de Bézier

Kvar punktoj P₀, P₁, P₂ kaj P₃ en la ebeno aŭ en tri-dimensia spaco difinas kuban kurbon de Bézier.

La kurbo startas je P₀ irante direkte al P₁ kaj alvenas je P₃ devenante de la direkto de P₂. Ĝenerale, ĝi ne trapasas tra P₁ aŭ P₂; ĉi tiuj punktoj estas nur por provizi direktojn. La distanco inter P₀ kaj P₁ difinas kiel longe la kurbo iras direkte al P₁ antaŭ turno al P₃.

La parametra formo de la kurbo estas:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{3}+3\mathbf {P} _{1}t(1-t)^{2}+3\mathbf {P} _{2}t^{2}(1-t)+\mathbf {P} _{3}t^{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Iuj bildo-prilaboraj sistemoj, inter ili PostSkripto kaj GIMP, uzas laŭpartajn interpolajn funkciojn de Bézier komponitajn el la kubaj kurboj de Bézier por desegnado de malrektaj linioj.

Kurboj de Bézier de ajna grado

La kurbo de Bézier de grado n povas esti donita sekve. Estu donitaj punktoj P₀, P₁,..., P_n. Tiam la kurbo de Bézier estas

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mathbf {P} _{i}(1-t)^{n-i}t^{i}=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{n}+{n \choose 1}\mathbf {P} _{1}(1-t)^{n-1}t+\cdots +\mathbf {P} _{n}t^{n}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

kie ${\displaystyle {n \choose i}}$ estas binoma koeficiento

${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}}$

Ekzemple, por n=5:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{5}+5\mathbf {P} _{1}t(1-t)^{4}+10\mathbf {P} _{2}t^{2}(1-t)^{3}+10\mathbf {P} _{3}t^{3}(1-t)^{2}+5\mathbf {P} _{4}t^{4}(1-t)+\mathbf {P} _{5}t^{5}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

La formulo povas esti skribita rikure per la samaj formuloj de grado n-1. Estu ${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}}$ kurbo de Bézier de punktoj P₀, P₁,..., P_n. Tiam

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)=(1-t)\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n-1}}(t)+t\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{1}\mathbf {P} _{2}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)}$

Tiel, kurbo de Bézier de grado n estas lineara interpolo inter du kurboj de Bézier de grado n-1.

Notoj

Estu

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {P} _{i}\mathbf {b} _{i,n}(t),\quad t\in [0,1]}$

la polinomoj

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,n}(t)={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n}$

estas la bazaj polinomoj de Bernstein de grado n.

La punktoj P_i estas la apogaj punktoj por la kurbo. La plurlatero formita per trakonektanta la apogaj punktoj per rektaj strekoj, startante de P₀ kaj finante kun P_n, kio estas, la konveksa koverto de la P_i , estas nomata kiel la plurlatero de Bézier, kaj la plurlatero de Bézier enhavas la kurbon de Bézier.

• La kurbo komenciĝas je P₀ kaj finiĝas je P_n; ĉi tio estas tiel la fina punkta interpolo.
• La kurbo estas rekto se kaj nur se ĉiuj apogaj punktoj kuŝas sur la kurbo, simile, la kurbo estas rekto se kaj nur se la apogaj punktoj estas samrektaj.
• La starto kaj fino de la kurbo estas tanĝantaj respektive al la unua kaj lasta sekcioj de la plurlatero.
• La kurbo povas esti fendita je ĉiu punkto en 2 subkurbojn, aŭ en arbitre multajn subkurbojn, ankaŭ ĉiu el kiuj estas kurbo de Bézier.
• Nek cirklo nek arko de cirklo povas esti akurate prezentita kiel kurbo de Bézier. Tamen, n≥2 kubaj kurboj de Bézier povas proksimumigi cirklon. Por n=4, eblas atingi la radiusan eraron pli malgrandan ol 1/1000 de la radiuso.
• La kurbo je fiksita flanka orta ŝovo de donita kurbo de Bézier (simile kiel unu relo de fervoja trako relative al la alia) ne povas esti akurate prezentita kiel kurbo de Bézier en ĝenerala okazo. Tamen, eblas proksimumigaj manieroj kutime adekvataj por praktikaj celoj.

• Ĉiu kurbo de Bézier de grado n estas ankaŭ kurbo de Bézier de grado m por ĉiu m>n. Se estas kurbo de Bézier de grado n donita per punktoj P₀, ..., P_n do ĝi estas ekvivalenta (eĉ je parametriogo) al la kurbo de grado n+1 donita per punktoj P'₀, ..., P'_n+1, kie ${\displaystyle \mathbf {P} '_{k}={\tfrac {k}{n+1}}\mathbf {P} _{k-1}+\left(1-{\tfrac {k}{n+1}}\right)\mathbf {P} _{k}}$.

Konstruado de kurboj de Bézier

Linearaj kurboj

La t en la funkcio por lineara kurbo de Bézier povas esti konsiderata kiel priskribanta kiel malproksime B(t) estas de P₀ al P₁. Ekzemple kiam t=0.25, B(t) estas je unu kvarono de la vojo de punkto P₀ al P₁. Kiam t varias de 0 al 1, B(t) priskribas rektan linion de P₀ al P₁.

Kvadrataj kurboj

Konstruado de kvadrata kurbo de Bézier

Por kvadrata kurboj de Bézier unu povas konstrui interajn punktojn Q₀ kaj Q₁ tiaj ke kiam t varias de 0 al 1:

• Punkto Q₀ varias de P₀ al P₁ kaj priskribas linearan kurbon de Bézier.
• Punkto Q₁ varias de P₁ al P₂ kaj priskribas linearan kurbon de Bézier.
• Punkto B(t) varias de Q₀ al Q₁ kaj priskribas kvadratan kurbon de Bézier.

Kubaj kurboj

Konstruado de kuba kurbo de Bézier

Por kurboj de pli alta ordo oni bezonas respektive pli multajn interajn punktojn. Por kubaj kurboj oni povas konstrui interajn punktojn Q₀, Q₁ kaj Q₂ kiuj priskribas linearajn kurbojn de Bézier, kaj punktojn R₀ kaj R₁ kiuj priskribas kvadratajn kurbojn de Bézier.

Kurboj de ordo 4

Konstruado de kurbo de Bézier de ordo 4

Por kvar-ordaj kurboj oni povas konstrui interajn punktojn Q₀, Q₁, Q₂, Q₃ kiuj priskribas linearajn kurbojn de Bézier; punktojn R₀, R₁, R₂ kiuj priskribas kvadratajn kurbojn de Bézier; punktojn S₀, S₁ kiuj priskribas kubajn kurbojn de Bézier.

Animacioj

Animacio de lineara kurbo de Bézier

Animacio de kvadrata kurbo de Bézier

Animacio de kuba kurbo de Bézier

Animacio de kurbo de Bézier de ordo 4

Animacio de kurbo de Bézier de ordo 5

Uzoj en komputila grafiko

Kurboj de Bézier estas multe uzitaj en komputila grafiko kiel modelaj glataj kurboj. Pro tio ke la kurbo estas plene enhavata en la konveksa koverto de ĝiaj apogaj punktoj, la punktoj povas esti grafike elmontritaj kaj estas oportune manipuli la kurbon intuicie. Afinaj transformoj kiel movo, skaligo kaj turnado povas esti aplikitaj al la kurbo per aplikado al la ĉiuj apogaj punktoj de la kurbo.

La plej grava kurboj de Bézier estas kvadrataj kaj kubaj. Kurboj de la pli altaj gradaj estas pli multekostaj en komputado. Se pli komplikaj formoj estas bezonataj, la tuta kurbo estas disdividata je partoj, obeantaj certajn kondiĉoj je randoj por glateco. Ĉi tio estas tiel speco de laŭparta interpola funkcio - laŭparta interpola funkcio de Bézier.

Racionalaj kurboj de Bézier

Kvadrataj racionalaj kurboj de Bézier, precize prezentantaj partojn de konikoj

Iuj kurboj kiuj aspektas kiel simpla, ekzemple cirklo, ne povas esti priskribitaj kiel kurbo de Bézier aŭ popeca kurbo de Bézier (kvankam en praktiko la diferenco estas malgranda kaj povas esti tolerebla). Por priskribi iujn el ĉi tiuj aliaj kurboj, oni bezonas aldonajn gradojn de libereco.

La racionala kurbo de Bézier aldonas pezojn kiuj povas esti ĝustigitaj. La numeratoro estas pezita kurbo de Bézier kaj la denominatoro estas pezita sumo de polinomoj de Bernstein.

Por donitaj n+1 apogaj punktoj P_i, la racionala kurbo de Bézier estas

${\displaystyle \mathbf {B} (t)={\frac {\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}w_{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)w_{i}}}}$

kio estas

${\displaystyle \mathbf {B} (t)={\frac {\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}\mathbf {P} _{i}w_{i}}{\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}w_{i}}}}$

La racionala kurbo de Bézier povas precize prezenti konikojn.

Vidu ankaŭ

• Algoritmo de de Casteljau
• Laŭparta interpola funkcio
• Laŭparta interpola funkcio de Bézier
• B-laŭparta interpola funkcio
• Surfaco de Bézier
• Triangulo de Bézier
• Polinomo de Lagrange

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Kurbo de Bézier en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Paul Bourke: kurboj de Bézier, http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/ Arkivigite je 2006-07-08 per la retarkivo Wayback Machine
• D-r Tomas Sederberg, BYU kurboj de Bézier, http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf Arkivigite je 2006-02-21 per la retarkivo Wayback Machine
• Interaga apleto por kurboj de Bézier Arkivigite je 2007-10-10 per la retarkivo Wayback Machine
• Apleto por kurboj de Bézier de 3-a ordo
• Apleto
• Apletoj de malsamaj laŭpartaj interpolaj funkcioj
• Enkonduko al laŭpartaj interpolaj funkcioj
• Kuba laŭparta interpola funkcia biblioteko de Don Lancaster