Regula kvaredro, kun latero longa je 5 globetoj enhavas 35 globetojn. Estas 5 tavoloj, kaj ĉiu konsistas el la respektiva triangula nombro da globetoj.
Kvaredra nombro , aŭ triangula piramida nombro , estas figuriga nombro kiu prezentas regulan kvaredron — piramidon kun triangula bazo kaj tri triangulaj flankoj.
La sinsekvo de kvaredraj nombroj
K
n
{\displaystyle K_{n}}
por
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
komenciĝas tiel:
1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … — estas la sinsekvo A000292 en OEIS .
La triangulo de Pascal
Formulo por
n
{\displaystyle n}
-a kvaredra nombro estas:
K
n
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
.
{\displaystyle K_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}
Ankaŭ la formulon oni povas esprimi per binoma koeficiento :
K
n
=
(
n
+
2
3
)
.
{\displaystyle K_{n}={\binom {n+2}{3}}.}
En
n
{\displaystyle n}
-a linio (komence de la 3-a) de la triangulo de Pascal , la 4-a nombro (de la komenco aŭ de la fino de la linio) estas
K
n
−
2
{\displaystyle K_{n-2}}
, t. e. la
(
n
−
2
)
{\displaystyle (n-2)}
-a kvaredra nombro.
La formulo de la
n
{\displaystyle n}
-a triangula nombro estas:
T
n
=
n
(
n
+
1
)
2
.
{\displaystyle T_{n}={n(n+1) \over 2}.}
Ni pruvu per indukto :
La bazo de la indukto
K
1
=
1
=
1
⋅
2
⋅
3
6
.
{\displaystyle K_{1}=1={1\cdot 2\cdot 3 \over 6}.}
La paso de la indukto
K
n
+
1
=
K
n
+
T
n
+
1
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
=
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
6
.
{\displaystyle K_{n+1}=K_{n}+T_{n+1}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.}
La
n
{\displaystyle n}
-a kvaredra nombro estas la sumo de la
n
{\displaystyle n}
unuaj triangulaj nombroj
K
n
=
T
1
+
T
2
+
…
+
T
n
.
{\displaystyle K_{n}=T_{1}+T_{2}+\ldots +T_{n}.}
K
1
=
1
2
=
1
{\displaystyle K_{1}=1^{2}=1}
;
K
2
=
2
2
=
4
{\displaystyle K_{2}=2^{2}=4}
;
K
48
=
140
2
=
19600
{\displaystyle K_{48}=140^{2}=19600}
.
Ekzistas nur kvin kvaredraj nombroj kiuj samtempe estas triangulaj (la sinsekvo A027568 en OEIS ):[ 1]
K
1
=
T
1
=
1
{\displaystyle K_{1}=T_{1}=1}
;
K
3
=
T
4
=
10
{\displaystyle K_{3}=T_{4}=10}
;
K
8
=
T
15
=
120
{\displaystyle K_{8}=T_{15}=120}
;
K
20
=
T
55
=
1540
{\displaystyle K_{20}=T_{55}=1540}
;
K
34
=
T
119
=
7140
{\displaystyle K_{34}=T_{119}=7140}
.
Por tiuj nombroj ĝustas sekva egalaĵo:
K
n
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
=
m
(
m
+
1
)
2
=
T
m
.
{\displaystyle K_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={m(m+1) \over 2}=T_{m}.}
(Se oni rigardas la nombron 0 kiel
K
0
{\displaystyle K_{0}}
do ankaŭ ĝi estas kaj perfekta kvadrato kaj triangula nombro).
K
5
=
K
4
+
K
3
+
K
2
+
K
1
.
{\displaystyle K_{5}=K_{4}+K_{3}+K_{2}+K_{1}.}
Pareco de la kvaredraj nombroj ripetas laŭ la sekva ciklo: nepara-para-para-para (estas evidente el la formulo).
∑
n
=
1
∞
1
K
n
=
∑
n
=
1
∞
6
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
=
3
2
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over K_{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}
Kiel mult-dimensia ĝeneraligo de la triangulaj kaj kvaredraj nombroj oni povas rigardi kvanton da k -dimensiaj sferoj, kiujn oni povas paki en k -dimensian regulan simplaĵon . Por k -dimensia spaco n -an nombron oni povas kalkuli per la formulo:
T
n
(
k
)
=
∏
i
=
0
k
−
1
(
n
+
i
)
k
!
.
{\displaystyle T_{n}(k)={\frac {\prod _{i=0}^{k-1}(n+i)}{k!}}.}