Lima ordonombro
En aroteorio, lima ordonombro estas ordonombro kiu estas nek nul nek postanta ordonombro. Intuicie, ĉi tiuj estas la ordonombroj, kiuj ne povas esti atingitaj tra la orda numera postanta operacio S.
λ estas lma ordonombro se por ĉiu α < λ, S(α) < λ. Alivorte, ordonombro estas lima ordonombro se kaj nur se ĝi estas egala al la preciza supra rando de ĉiuj ordonombroj pli sube de ĝi. Alivorte, por ĉiu ordonombro β < λ, ekzistas ordonombro γ tia ke β < γ < λ.
La termino limo en ĉi tiu kunteksto rilatas al la orda topologio sur la numeroj; limaj ordonombroj respektivas precize al la limaj punktoj en ĉi tiu topologio.
Estas malsamaj opinioj pri tio, ĉu 0 devus esti klasifikita kiel lima ordonombro, ĉar ĝi ne havas antaŭanton. Tamen la plej multaj matematikistoj ekskludas 0 el la limaj ordonombroj.
Ekzemploj
[redakti | redakti fonton]Ĉar la klaso de nombroj estas bonorda, ekzistas plej malgranda malfinia lima ordonombro, skribata kiel ω. Ĉi tiu ordonombro ω estas ankaŭ la plej malgranda malfinia ordonombro (malobservante la vorton limo), ĉar ĝi estas la supremo de la naturaj nombroj. De ĉi tie ω prezentas la ordan tipon de la naturaj nombroj. La sekva lima ordonombro pli supre la unua estas ω + ω = ω2, kaj tiam oni havas ωn por ĉiu natura nombro n. Prenante la union (la precizan supran randan operacion sur ĉiu aro de ordonombroj) de ĉiu ωn, oni ricevas ωω = ω2 (legu pli pri ordonombra aritmetiko en la artikolo ordonombro). Ĉi tiu procezo povas esti ripetita kiel sekvas por produkti:
Ĝenerale, ĉiuj el ĉi tiuj rekursiaj difinoj tra multipliko, potencigo, ripetita potencigo, kaj tiel plu liveras limajn ordonombrojn. Ĉiuj el la ordonombroj diskutitaj tiel malproksime estas ankoraŭ kalkuleblaj ordonombroj; povas esti pruvite ke ekzistas ne rekursia numerigo de ĉiuj kalkuleblaj ordonombroj.
Preter la kalkuleblaj, la unua nekalkulebla ordonombro estas kutime skribata kiel ω1. Ĝi ankaŭ estas lima ordonombro.
Daŭrante, oni povas ricevi jenajn (kiuj ĉiuj estas nun pligrandiĝantaj je kvantonombro):
Ĝenerale, oni ĉiam ricevas liman ordonombron kiam prenas la union de aro de ordonombroj kiu ne havas maksimuman eron.
Propaĵoj
[redakti | redakti fonton]La klasoj de postantaj ordonombroj kaj limaj ordonombroj (kaj ankaŭ nulo, se oni postulas ke limaj ordonombroj esti malfinioj) kune konsistas la tutan klason de ordonombroj, tiel ĉi tiuj okazoj estas ofte uzata en pruvoj per transfinia indukto aŭ difinoj per transfinia rekursio. limaj ordonombroj prezentas speco de "turnopunkto" en ĉi tiaj proceduroj, en kiuj oni devas uzi limajn operaciojn prenante la union de ĉiuj antaŭvenantaj ordonombroj. Principe, oni povas fari ion je limaj ordaj numeraloj, sed preno de la unio estas kontinua en la orda topologio kaj ĉi tio estas kutime dezirinda.
Se oni uzas la kardinalan asignon de Von Neumann, ĉiu malfinia kardinalo estas ankaŭ lima ordonombro (kaj ĉi tio estas ankaŭ lingva observado, ĉar kardinalo derivas de la latina cardo kun signifo ĉarniro, artiko aŭ turnopunkto!): la pruvo de ĉi tiu fakto estas farata per simple montrado ke ĉiu postanta ordonombro estas samonumera al lima ordonombro per la hilberta paradokso de la granda hotelo.
Kvantonombroj havas siajn proprajn nociojn de sekveco kaj limo (ĉio okazas en la pli alta nivelo!); vidu en lima kvantonombro.