Okedra simetrio

La regula okedro havas turnan simetrion de ordo 24 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 48 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). Kubo havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la duala pluredro de okedro.

La grupo de orientiĝo-konservantaj simetrioj estas S₄, aŭ la grupo de permutoj de kvar objektoj, pro tio ke estas akurate unu tia simetrio por ĉiu permuto de la kvar paroj de kontraŭaj edroj de la okedro.

Turna okedra simetrio kaj plena okedra simetrio estas la diskretaj punktaj simetrioj (aŭ ekvivalente, simetrioj sur sfero) kun la plej grandaj geometriaj simetriaj grupoj kongruaj kun mova simetrio. Ili estas en la kristalaj punktaj grupoj de la kuba kristala sistemo.

Turna okedra simetrio

O, 432, aŭ $4/m\ {\bar {3}}\ 2/m$ de ordo 24, estas turna okedra simetrio . Ĉi tiu grupo estas simile al turna kvaredra simetrio T, sed la C₂ aksoj estas en la okedra turna simetrio C₄ aksoj, kaj aldone estas 6 C₂ aksoj tra la mezpunktoj de lateroj de la kubo. T_d kaj O estas izomorfiaj kiel abstraktaj grupoj: ili ambaŭ esti konforma laŭ S₄, la simetria grupo je 4 objektoj. T_d estas la unio de T kaj la aro ricevita per komponado de ĉiu ero de O \ T kun la inversigo. O estas la turna grupo de la kubo kaj de la regula okedro.

Plena okedra simetrio

En la piramidigita dekduedro unu plena edro estas fundamenta domajno. La aliaj pluredroj kun la sama simetrio povas esti ricevita per ĝustigo de orientiĝo de la edroj, do per kunigo de elektitaj subaroj de edroj por komponi ĉiun tutan subaron en unu edron, aŭ per anstataŭigo de ĉiu edro per multaj edroj aŭ surfaco.

O_h (*432) de ordo 48 estas plena okedra simetrio. Ĉi tiu grupo havas la samajn turnajn aksojn kiel O, sed kun spegulaj ebenoj, kiuj estas la spegulaj ebenoj de ambaŭ T_d kaj T_h. Ĉi tiu grupo estas izomorfia al S₄ × C₂, kaj estas la plena geometria simetria grupo de la kubo kaj okedro.

Kun la 4-oblaj aksoj koincidantaj kun la koordinataj aksoj, fundamenta domajno de O_h estas donita per kondiĉo 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Objekto kun ĉi tiu simetrio estas karakterizita per la parto de la objekto en la fundamenta domajno, ekzemple la kubo estas donita per z ≤ 1 (z = 1 por la rando) , kaj la okedro per x + y + z ≤ 1 (x + y + z = 1 por la rando). ax + by + cz = 1 donas randon de pluredro kun 48 edroj, la piramidigitan dekduedron.

La edroj estas kombinataj po 8 al pli grandaj edroj por a = b = 0 por kubo, kaj kombinataj po 6 por a = b = c por okedro.

Konjugecaj klasoj

La konjugecaj klasoj de O estas:

idento
6 × turno je 90°
8 × turno je 120°
3 × turno je 180° ĉirkaŭ 4-obla akso
6 × turno je 180° ĉirkaŭ 2-obla akso

Tiuj de O_h inkluzivas ankaŭ tiujn kun inversigo:

inversigo
6 × turnoreflekto je 90°
8 × turnoreflekto je 60°
3 × reflekto de ebeno perpendikulara al 4-obla akso
6 × reflekto de ebeno perpendikulara al 2-obla akso

Iuj nememspegulsimetriaj pluredroj kun turna okedra simetrio

Nomo	Speco	Bildo		Edroj	Lateroj	Verticoj
Nomo	Speco	Mallaŭ horloĝa nadlo	Laŭ horloĝa nadlo	Edroj	Lateroj	Verticoj
Riproĉa kubo	Arĥimeda solido			38	60	24
Kvinlatera dudekkvaredro	Katalana solido			24	60	38

Iuj pluredroj kun plena okedra simetrio