Principo de reflektado

En probabloteorio kaj stokastikaj procezoj, la reflektadprincipo por Wiener-procezo deklaras ke se la pado de Wiener-procezo ${\displaystyle f(t)}$ atingi valoron ${\displaystyle f(s)=a}$ en tempo ${\displaystyle t=s}$, tiam la posta vojo post tempo ${\displaystyle s}$ havas la saman distribuon kiel la reflektado de la posta vojo sur la valoro ${\displaystyle a}$ . Pli formale, la principo de reflektado rilatas al lemo koncerne la distribuadon de la suprema de la Wiener-procezo, ankaŭ nomita Browniana moviĝo . La rezulto rilatigas la distribuadon de la suprema de la Browniana movo al la tempo ${\displaystyle t}$ kun la distribuo de la procezo en tempo ${\displaystyle t}$ . Ĝi estas konsekvenco de la forta Markov-posedaĵo de Brownia moviĝo. ^[1]

Aserto

se ${\displaystyle (W(t):t\geq 0)}$ estas Wiener-procezo ${\displaystyle a>0}$ estas sojlo (ankaŭ nomita krucpunkto), tiam la lemo diras:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).}$

Pli forte, la principo de pripensado deklaras ke se ${\displaystyle \tau }$ estas halta tempo, tiam la reflekto de la Wiener-procezo komencanta je ${\displaystyle \tau }$, indikita ${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$, ankaŭ estas Wiener-procezo, kie:

${\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}}$

kaj la indikila funkcio ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}}$ Ĝi estas ${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$ estas difinitaj simile. La plej forta formo implicas la originalan moton dum elektado ${\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}}$ .

Pruvo

La plej frua halttempo por atingi la interkruciĝpunkton ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}$, estas preskaŭ certe limigita halttempo. Tiam ni povas apliki la fortan Markov-econ por dedukti ke posta relativa vojo al ${\displaystyle \tau _{a}}$, donita de ${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$, estas ankaŭ simpla Brownia movo sendependa de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ . Do la probabla distribuo por la lasta fojo ${\displaystyle W(s)}$ estas sur la sojlo ${\displaystyle a}$ aŭ super ĝi en la tempointervalo ${\displaystyle [0,t]}$ kaj povas esti malkomponita kiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}.}$

Per la turo por kondiĉaj atendoj, la dua termino reduktas al:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}$

donita tion ${\displaystyle X(t)}$ estas norma Brownia movo sendependa de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ kaj havas probablecon ${\displaystyle 1/2}$ esti malpli ol ${\displaystyle 0}$ . La pruvo de la lemo estas kompletigita per anstataŭigado de tio en la duan linion de la unua ekvacio:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.}$ ^[2]

Konsekvencoj

La reflektadprincipo estas ofte uzata por simpligi distribuajn trajtojn de Browniana moviĝo. Konsiderante Brownian moviĝon en la limigita intervalo ${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$, tiam la principo de reflektado permesas al ni pruvi, ke la loko de maksimumoj ${\displaystyle t_{\text{max}}}$, kiuj kontentigas ${\displaystyle W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)}$, havas la arksinusan distribuon. Tio estas unu el la arksinuoj de Lévy.^[3]

Vidu ankaŭ

• Reflekto

Referencoj

1. Jacobs, Kurt (2010). Stochastic Processes for Physicists: Understanding Noisy Systems (en angla). [S.l.]: Cambridge University Press. pp. Cambridge. ISBN 9781139486798. Konsultita la 27an de februaro 2018 ISBN=9781139486798
2. Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Brownian Motion (en angla). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781139486576. Konsultita la 27an de februaro 2018
3. Lévy, Paul (1940). «Sur certain processus stochastiques homogènes» (PDF). Compositio Mathematica. Konsultita la 27an de februaro 2018

Bibliotekoj

PeEnEo: 832303