Sigma-alĝebro

En matematiko sigma-alĝebro (aŭ σ-alĝebro) super aro estas familio de ties subaroj, kiu estas fermita je komplementoj kaj kalkuleblaj komunaĵoj kaj kunaĵoj.

Sigma-alĝebroj estas uzataj precipe por difini mezurojn kaj tial estas gravaj en probablo-teorio kaj analitiko.

Difino

${\displaystyle X}$ estu aro. Familio de subaroj de ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$

nomiĝas sigma-alĝebro, se kaj nur se por ĝi validas ĉi-subaj aksiomoj:

• Por ajna kalkulebla kolekto da elementoj ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ de ${\displaystyle \Sigma }$, ankaŭ ilia kunaĵo estas elemento de ${\displaystyle \Sigma }$:

  ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}\in \Sigma }$.

  • Speciale, por ${\displaystyle I=\varnothing }$, tio implicas, ke ${\displaystyle \varnothing \in \Sigma }$.
• Por ajna elemento ${\displaystyle S\in \Sigma }$, ankaŭ ĝia komplemento estas elemento de ${\displaystyle \Sigma }$: ${\displaystyle X\setminus S\in \Sigma }$.

Ekzemploj

Pri ajna aro ${\displaystyle X}$, la ĉi-suba sigma-alĝebro, la maldiskreta sigma-alĝebro, estas la plej malgranda sigma-alĝebro super ĝi:

${\displaystyle \Sigma _{\text{maldisk}}=\{\varnothing ,X\}}$.

Pri ajna aro ${\displaystyle X}$, la ĉi-suba sigma-alĝebro, la diskreta sigma-alĝebro, estas la plej granda sigma-alĝebro super ĝi:

${\displaystyle \Sigma _{\text{disk}}={\mathcal {P}}(X)}$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Sigma-algebra en MathWorld.