Solido de Johnson

En geometrio, solido de Johnson estas severe konveksa pluredro, ĉiu edro de kiu estas regula plurlatero kaj kiu ne estas platona solido, arĥimeda solido, prismo, aŭ kontraŭprismo. Ne nepras ke ĉiu edro estas la sama plurlatero, aŭ ke la samaj plurlateroj kuniĝas ĉirkaŭ ĉiu vertico. Simpla ekzemplo de solido de Johnson estas la kvarangula piramido kun kvadrato kiel bazo kaj egallatera trianguloj kiel flankoj (J₁), Ĝi havas unu kvadratan edron kaj kvar triangulajn edrojn.

Severe konveksa pluredro estas konveksa pluredro ĉe kiu ĉiuj duedraj anguloj estas malpli ol 180 gradoj.

Kiel en ĉiu severe konveksa solido, almenaŭ tri edroj devas kunigi je ĉiu vertico, kaj la sumo de iliaj anguloj devas esti malpli ol 360 gradoj. Pro tio ke regula plurlatero havas anguloj de almenaŭ 60 gradoj, do maksimume kvin edroj kuniĝas je iu ajn vertico. La kvinlatera piramido (J₂) estas ekzemplo kiu reale havas ordo-5 verticon.

Kvankam ĉi tio ne estas evidenta limigo, ĉiu edro de Solido de Johnson havas 3, 4, 5, 6, 8, aŭ 10 laterojn.

En 1966, Norman Johnson publikigis liston kiu inkluzivis ĉiujn 92 pluredrojn, kaj donis al ili nomojn kaj numerojn. Li ne pruvis ke ĉi tio estas la tuta aro, sed li faris ĉi tiun konjekton. Victor Zalgaller en 1969 pruvis ĉi tiun konjekton, do la listo de Johnson estas plena.

Inter solidoj de Johnson, la plilongigita kvadrata turnodukupolo (J₃₇) estas unika en estado loke vertico-uniforma: estas kvar edroj je ĉiu vertico, kaj ilia ordigo estas ĉiam la sama: tri kvadratoj kaj unu triangulo. Kvankam ĝi ne estas malloke vertico-uniforma, la pluredro estas malsama se rigardi pli malproksimen de iuj malsamaj verticoj

Nomoj

La plejparto de la solidoj de Johnson povas esti konstruita surbaze de kelkaj piramidoj, kupoloj, kaj rotondoj, platonaj solidoj, arĥimedaj solidoj, prismoj, kaj kontraŭprismoj.

Du- signifas ke du kopioj de la solido estas kunigitaj bazo al bazo. Por kupoloj kaj rotondoj, ili povas esti kunigitaj tiel ke kune estas la samaj edroj (orto-) aŭ malsamaj edroj (turno-). Do, okedro estas kvadrata dupiramido, kubokedro estas triangula turnodukupolo, dudek-dekduedro estas kvinlatera turnodurotondo.
Plilongigita signifas ke prismo estas aldonita al bazo de la pluredro aŭ inter bazoj de la pluredroj. Rombokub-okedro do estas plilongigita kvadrata ortodukupolo.
Turnoplilongigita signifas ke kontraŭprismo estas aldonita al bazo de la pluredro aŭ inter bazoj de la pluredroj. Dudekedro do estas turnoplilongigita kvinlatera dupiramido.
Pligrandigita signifas ke piramido aŭ kupolo havas estas aldonita al edro de la pluredro. En okazo de prismo, piramido estas aldonata al flanko de la prismo. Pluredro en kiu piramido estas aldonita al bazo de la prismo estas konsiderata kiel plilongigita piramido.
Malkreskigita signifas ke piramido aŭ kupolo havas estas forprenita de la pluredro.
Turnita signifas ke kupolo sur la solido estas turnita tiel ke malsamaj lateroj estas kunigitaj, kiel ortodukupolo povas esti farita el turnodukupolo kaj male.

La lastaj tri operacioj - pligrandigo, malkreskigo kaj turno - povas esti plenumitaj kelkfoje en diversaj flankoj de la pluredro. Estas aldonata ero du- aŭ tri- al la nomo de la operacio por indiki ke ĝi havas estas plenumata dufoje aŭ trifoje respektive. En iuj pluredroj ero du- ne priskribas senvariante kie estas farataj la operacioj, tiam aldonaj vorteroj estas aldonataj. En iuj pluredroj estas kelkaj variantoj de faro de la operacioj, sed nur unu varianto donas konveksan pluredron kiel rezulto; tiam la pliprecizigo ne estas farata.

Listo de pluredroj

Kolumnoj:

J_n - valoro n por simbolo J_n
Verticoj - kvanto de verticoj
Lateroj - kvanto de lateroj
Edroj - tuta kvanto de edroj
3-l - kvanto de triangulaj edroj
4-l - kvanto de kvadrataj edroj
5-l - kvanto de kvinlateraj edroj
6-l - kvanto de seslateraj edroj
8-l - kvanto de oklateraj edroj
10-l - kvanto de deklateraj edroj
Simetrio - geometria simetria grupo

Prismsimilaĵoj kaj rotondoj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
1	Kvadrata piramido	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C_4v
2	Kvinlatera piramido	6	10	6	5	0	1	0	0	0	C_5v
3	Triangula kupolo	9	15	8	4	3	0	1	0	0	C_3v
4	Kvadrata kupolo	12	20	10	4	5	0	0	1	0	C_4v
5	Kvinlatera kupolo	15	25	12	5	5	1	0	0	1	C_5v
6	Kvinlatera rotondo	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C_5v

Modifitaj piramidoj kaj dupiramidoj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	Simetrio
7	Plilongigita triangula piramido	7	12	7	4	3	0	C_3v
8	Plilongigita kvadrata piramido (pligrandigita kubo)	9	16	9	4	5	0	C_4v
9	Plilongigita kvinlatera piramido	11	20	11	5	5	1	C_5v
10	Turnoplilongigita kvadrata piramido	9	20	13	12	1	0	C_4v
11	Turnoplilongigita kvinlatera piramido (malkreskigita dudekedro)	11	25	16	15	0	1	C_5v
12	Triangula dupiramido	5	9	6	6	0	0	D_3h
13	Kvinlatera dupiramido	7	15	10	10	0	0	D_5h
14	Plilongigita triangula dupiramido	8	15	9	6	3	0	D_3h
15	Plilongigita kvadrata dupiramido (dupligrandigita kubo)	10	20	12	8	4	0	D_4h
16	Plilongigita kvinlatera dupiramido	12	25	15	10	5	0	D_5h
17	Turnoplilongigita kvadrata dupiramido	10	24	16	16	0	0	D_4d

Modifitaj kupoloj kaj rotondoj

Plilongigitaj kaj turnoplilongigitaj kupoloj kaj rotondoj
Simplaj, plilongigitaj kaj turnoplilongigitaj dukupolo, durotondoj, kupolorotondoj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
18	Plilongigita triangula kupolo	15	27	14	4	9	0	1	0	0	C_3v
19	Plilongigita kvadrata kupolo (malkreskigita rombokub-okedro)	20	36	18	4	13	0	0	1	0	C_4v
20	Plilongigita kvinlatera kupolo	25	45	22	5	15	1	0	0	1	C_5v
21	Plilongigita kvinlatera rotondo	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C_5v
22	Turnoplilongigita triangula kupolo	15	33	20	16	3	0	1	0	0	C_3v
23	Turnoplilongigita kvadrata kupolo	20	44	26	20	5	0	0	1	0	C_4v
24	Turnoplilongigita kvinlatera kupolo	25	55	32	25	5	1	0	0	1	C_5v
25	Turnoplilongigita kvinlatera rotondo	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C_5v
26	Turnodufirsto	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D_2d
27	Triangula ortodukupolo (turnita kubokedro)	12	24	14	8	6	0	0	0	0	D_3h
28	Kvadrata ortodukupolo	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D_4h
29	Kvadrata turnodukupolo	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D_4d
30	Kvinlatera ortodukupolo	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D_5h
31	Kvinlatera turnodukupolo	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D_5d
32	Kvinlatera ortokupolorotondo	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C_5v
33	Kvinlatera turnokupolorotondo	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C_5v
34	Kvinlatera ortodurotondo (turnita dudek-dekduedro)	30	60	32	20	0	12	0	0	0	D_5h
35	Plilongigita triangula ortodukupolo	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D_3h
36	Plilongigita triangula turnodukupolo	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D_3d
37	Plilongigita kvadrata turnodukupolo (turnita rombokub-okedro)	24	48	26	8	18	0	0	0	0	D_4d
38	Plilongigita kvinlatera ortodukupolo	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D_5h
39	Plilongigita kvinlatera turnodukupolo	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D_5d
40	Plilongigita kvinlatera ortokupolorotondo	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C_5v
41	Plilongigita kvinlatera turnokupolorotondo	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C_5v
42	Plilongigita kvinlatera ortodurotondo	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D_5h
43	Plilongigita kvinlatera turnodurotondo	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D_5d
44	Turnoplilongigita triangula dukupolo (nememspegulsimetria)	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D₃
45	Turnoplilongigita kvadrata dukupolo (nememspegulsimetria)	24	56	34	24	10	0	0	0	0	D₄
46	Turnoplilongigita kvinlatera dukupolo (nememspegulsimetria)	30	70	42	30	10	2	0	0	0	D₅
47	Turnoplilongigita kvinlatera kupolorotondo (nememspegulsimetria)	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C₅
48	Turnoplilongigita kvinlatera durotondo (nememspegulsimetria)	40	90	52	40	0	12	0	0	0	D₅

Pligrandigitaj prismoj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	Simetrio
49	Pligrandigita triangula prismo	7	13	8	6	2	0	0	C_2v
50	Dupligrandigita triangula prismo	8	17	11	10	1	0	0	C_2v
51	Tripligrandigita triangula prismo	9	21	14	14	0	0	0	D_3h
52	Pligrandigita kvinlatera prismo	11	19	10	4	4	2	0	C_2v
53	Dupligrandigita kvinlatera prismo	12	23	13	8	3	2	0	C_2v
54	Pligrandigita seslatera prismo	13	22	11	4	5	0	2	C_2v
55	Tra-du-dupligrandigita seslatera prismo	14	26	14	8	4	0	2	D_2h
56	Tra-unu-dupligrandigita seslatera prismo	14	26	14	8	4	0	2	C_2v
57	Tripligrandigita seslatera prismo	15	30	17	12	3	0	2	D_3h

Modifitaj platonaj solidoj

Pligrandigitaj dekduedroj
Malkreskigitaj dudekedroj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio

58	Pligrandigita dekduedro	21	35	16	5	0	11	0	0	0	C_5v
59	Tra-du-dupligrandigita dekduedro	22	40	20	10	0	10	0	0	0	D_5d
60	Tra-unu-dupligrandigita dekduedro	22	40	20	10	0	10	0	0	0	C_2v
61	Tripligrandigita dekduedro	23	45	24	15	0	9	0	0	0	C_3v
62	Najbarodumalkreskigita dudekedro	10	20	12	10	0	2	0	0	0	C_2v
63	Trimalkreskigita dudekedro	9	15	8	5	0	3	0	0	0	C_3v
64	Pligrandigita trimalkreskigita dudekedro	10	18	10	7	0	3	0	0	0	C_3v

Modifitaj arĥimedaj solidoj

Pligrandigita senpintigita kvaredro
Pligrandigitaj senpintigitaj kuboj
Pligrandigitaj senpintigitaj dekduedroj
Modifitaj rombo-dudek-dekduedroj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio

65	Pligrandigita senpintigita kvaredro	15	27	14	8	3	0	3	0	0	C_3v
66	Pligrandigita senpintigita kubo	28	48	22	12	5	0	0	5	0	C_4v
67	Dupligrandigita senpintigita kubo	32	60	30	16	10	0	0	4	0	D_4h
68	Pligrandigita senpintigita dekduedro	65	105	42	25	5	1	0	0	11	C_5v
69	Tra-du-dupligrandigita senpintigita dekduedro	70	120	52	30	10	2	0	0	10	D_5d
70	Tra-unu-dupligrandigita senpintigita dekduedro	70	120	52	30	10	2	0	0	10	C_2v
71	Tripligrandigita senpintigita dekduedro	75	135	62	35	15	3	0	0	9	C_3v
72	Turnita rombo-dudek-dekduedro	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_5v
73	Paraleloduturnita rombo-dudek-dekduedro	60	120	62	20	30	12	0	0	0	D_5d
74	Najbaroduturnita rombo-dudek-dekduedro	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_2v
75	Triturnita rombo-dudek-dekduedro	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_3v
76	Malkreskigita rombo-dudek-dekduedro	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_5v
77	Paraleloturnita malkreskigita rombo-dudek-dekduedro	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_5v
78	Najbaroturnita malkreskigita rombo-dudek-dekduedro	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_s
79	Duturnita malkreskigita rombo-dudek-dekduedro	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_s
80	Paralelodumalkreskigita rombo-dudek-dekduedro	50	90	42	10	20	10	0	0	2	D_5d
81	Najbarodumalkreskigita rombo-dudek-dekduedro	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C_2v
82	Turnita dumalkreskigita rombo-dudek-dekduedro	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C_2v
83	Trimalkreskigita rombo-dudek-dekduedro	45	75	32	5	15	9	0	0	3	C_3v

Aliaj

J_n	Nomo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio

84	Riproĉa dukojnosimilaĵo	8	18	12	12	0	0	0	0	0	D_2d
85	Riproĉa kvadrata kontraŭprismo	16	40	26	24	2	0	0	0	0	D_4d
86	Kojnokorono	10	22	14	12	2	0	0	0	0	C_2v
87	Pligrandigita kojnokorono	11	26	17	16	1	0	0	0	0	C_s
88	Kojnograndokorono	12	28	18	16	2	0	0	0	0	C_2v
89	J89	14	33	21	18	3	0	0	0	0	C_2v
90	J90	16	38	24	20	4	0	0	0	0	D_2d
91	J91	14	26	14	8	2	4	0	0	0	D_2h
92	J92	18	36	20	13	3	3	1	0	0	C_3v

Vidu ankaŭ

Proksimaj nesukcesaj solidoj de Johnson

Referencoj

Norman W. Johnson, "Konveksaj Solidoj kun Regulaj Edroj", Kanada Ĵurnalo de Matematiko, 18, 1966, paĝoj 169–200. Enhavas la originalan numeradon de la 92 solidoj kaj la konjekton ke ne estas aliaj.
Victor A. Zalgaller. (1969) Convex Polyhedra with Regular Faces - Konveksaj Pluredroj kun Regulaj Edroj. Consultants Bureau. Ne ISBN. La unua pruvo ke estas nur 92 solidoj de Johnson.

Eksteraj ligiloj

Kategorio Solido de Johnson en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

Papero modeloj de pluredroj multaj ligoj
Solidoj de Johnson de Georgo W. Hart.
Bildoj de ĉiuj 92 solidoj Arkivigite je 2013-06-01 per la retarkivo Wayback Machine
MathWorld
VRML modeloj Arkivigite je 2007-10-12 per la retarkivo Wayback Machine
Kleriga ludila sistemo por farante Solidoj de Johnson kaj aliaj pluredroj Arkivigite je 2021-01-26 per la retarkivo Wayback Machine
VRML modeloj de solidoj de Johnson de Vladimir Bulatov