Teoremo de Jung

En geometrio, teoremo de Jung estas neegalaĵo inter la diametro de aro de punktoj en eŭklida spaco kaj radiuso de la minimuma enmetanta pilko de la aro. Ĝi estas nomita pro Heinrich Jung, kiu la unua studis ĉi tiun neegalaĵon en 1901.

Frazo

Estu kompakta aro

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

kaj estu

${\displaystyle d=\max \nolimits _{p,q\in K}\|p-q\|_{2}}$

la diametro de K, kio estas la plej granda eŭklida distanco inter iu du punktoj de la aro. La teoremo diras ke tie ekzistas fermita pilko kun radiuso

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},}$

kiu enhavas na K. La rando okazo de egaleco estas atingata per la regula n-simplaĵo.

En ebeno

En eŭklida ebeno, kun n = 2, la teoremo diras ke tie ekzistas cirklo enmetanta ĉiujn punktojn kies radiuso estas

${\displaystyle r\leq d/{\sqrt {3}}.}$

Pli strikta baro por r ne povas esti metita ĉar de S estas egallatera triangulo (aŭ ĝiaj tri verticoj)

${\displaystyle r=d/{\sqrt {3}}}$ .

Ĝeneralaj metrikaj spacoj

Por ĉiu barita aro S en ĉiu metrika spaco, d/2 ≤ r ≤ d.

La unua neegalaĵo estas pro la neegalaĵo de triangulo por centro de la pilko kaj la du diametraj punktoj, kaj la dua neegalaĵo sekvas pro tio ke pilko de radiuso d centrita je ĉiu punkto de S enhavas na S. En uniforma metrika spaco, kio estas, en spaco kiu ĉiuj distancoj egalaj, r = d.

Je la alia fino de spektro de la eblecoj, en disĵeta metrika spaco kun la manhatana distanco en la ebeno, r = d/2.

Referencoj

• Dekster, B. V. (1997). “The Jung theorem in metric spaces of curvature bounded above - La teoremo de Jung en metrikaj spacoj de kurbeco barita desupre”, Proceedings of the American Mathematical Society - Paperoj de la Amerika Matematika Socio 125 (8), p. 2425–2433. 

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Teoremo de Jung en MathWorld.