Volumena integralo

En multvariabla kalkulo, volumena integralo estas integralo tra 3-dimensia domajno. Ĝi estas triobla obla integralo.

Volumena integralo tra regiono D en R³ de funkcio f(x, y, z) estas kutime skribata kiel:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

Volumena integralo en cilindraj koordinatoj estas

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz}$

Volumena integralo en sferaj koordinatoj estas

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(\rho ,\theta ,\phi )\,\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }$

Volumeno de regiono D estas triopa integralo de la konstanta funkcio 1 tra la regiono:

${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz}$

Ekzemploj

Integralado de funkcio f(x, y, z) = 1 tra kubo D: 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 rezultas je:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1}$

Integralado de funkcio f(x, y, z) = x+y+z tra la sama kubo rezultas je:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}({\frac {1}{2}}+y+z)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$

Uzoj

Se skalara funkcio ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{3}&\to \mathbb {R} \end{aligned}}}$ priskribas la densecon de objekto je donita punkto (x, y, z) do plena maso de la objekto estas la volumena integralo de f tra la tuta objekto. La volumena integralo tra parto de la objekto donas mason de la parto.

Simile se la skalara funkcio priskribas la densecon de ŝargo, la volumena integralo de ĝi tra la tuta objekto aŭ parto de la objekto donas entutan ŝargon de la objekto aŭ de la parto.

Vidu ankaŭ

• Volumeno
• Kurba integralo
• Surfaca integralo
• Obla integralo
• Diverĝenca teoremo

Eksteraj ligiloj

• Volumena integralo je MathWorld