65537-gono

65537-gono
Un 65537-gono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	65 537
Vértices	65 537
Grupo de simetría	Diedral (D65537), orden 2×65537
Símbolo de Schläfli	{65537} (65537-gono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	${\displaystyle A={\frac {65537}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}}$ (lado ${\displaystyle a}$)
Ángulo interior	179.994507°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
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En geometría, un 65537-gono es un polígono con 65 537 (esto es 2¹⁶ + 1) lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier 65537-gono que no sea autointersecante es de 11 796 300°. Presenta la particularidad de que se puede construir con regla y compás, al ser 65 537 un número de Fermat.

65537-gono regular

El área de un 65537-gono normal es (con a = longitud del lado)

${\displaystyle A={\frac {65537}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}}$

Un 65537-gono regular completo no se distingue visualmente de una circunferencia, y su perímetro difiere del de la circunferencia circunscrita en aproximadamente quince partes por mil millones.

Construcción

El 65537-gono regular (uno con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales) es de interés por ser un polígono construible: es decir, se puede construir usando un compás y una regla sin marcar. Esto se debe a que 65 537 es un número de Fermat, siendo de la forma 2²ⁿ + 1 (en este caso n = 4).

Por lo tanto, los valores ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65537}}}$ y ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{65537}}}$ son números algebraicos asociados a un polinomio de grado 32 768 y, como cualquier número construible, se pueden escribir en términos de raíces cuadradas y no de raíces de orden superior.

Aunque Gauss sabía en 1801 que el 65537-gono regular era construible, Johann Gustav Hermes (1894) proporcionó la primera construcción explícita de un 65537-gono regular. La construcción es muy compleja; Hermes pasó 10 años completando el manuscrito de 200 páginas.^[1]​ Otro método implica el uso de un máximo de 1332 círculos de Carlyle, y las primeras etapas de este método se muestran a continuación. Este método soluciona problemas prácticos, ya que uno de estos círculos de Carlyle resuelve la ecuación de segundo grado x² + x − 16384 = 0 (siendo 16 384 precisamente 2¹⁴).^[2]​

Simetría

El 65537-gono regular tiene simetría diedral Dih₆₅₅₃₇, de orden 131 074. Dado que 65 537 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih₁, y 2 simetrías grupo cíclico: Z₆₅₅₃₇ y Z₁.

65537-grama

Un 65537-grama es una estrella de 65 537 lados. Como 65 537 es primo, hay 32 767 formas regulares representadas de la forma símbolos de Schläfli {65537/n}, para todos los números enteros 2 ≤ n ≤ 32768 como ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {65537}{2}}\right\rfloor =32768}$.

Véase también

• Círculo
• Triángulo equilátero
• Pentágono
• Heptadecágono (17 caras)
• 257-gono

Referencias

1. Johann Gustav Hermes (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán) (Göttingen) 3: 170-186. 
2. DeTemple, Duane W. (Feb 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97-208. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2015. Consultado el 6 de noviembre de 2011. 

Bibliografía

• Weisstein, Eric W. «65537-gon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Robert Dixon Mathographics. New York: Dover, p. 53, 1991.
• Benjamin Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them New York: Dover, p. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
• H. S. M. Coxeter Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969. Chapter 2, Regular polygons
• Leonard Eugene Dickson Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons Ch. 8 in Monographs on Topics of Modern Mathematics
• Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352–386, 1955.

Enlaces externos

• 65537-gon Archivado el 5 de enero de 2023 en Wayback Machine. mathematik-olympiaden.de (alemán), con imágenes de la documentación HERMES; recuperado el 9 de julio de 2018
• Wikibooks 65573-Eck (alemán) Construcción aproximada del primer lado en dos pasos principales
• 65537-gon, exact construction for the 1st side, usando Cuadratriz de Hipias y GeoGebra como ayudas adicionales, con breve descripción (alemán)