Anexo:Grupos de simetría esférica

Grupos de puntos en tres dimensiones
Grupo poliédrico, [n,3], (*n32)
Simetría involutiva C_s, (*) [ ] =	Simetría cíclica C_nv, (*nn) [n] =	Simetría diédrica D_nh, (*n22) [n,2] =
Simetría tetraédrica T_d, (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O_h, (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I_h, (*532) [5,3] =

Los grupos de simetría esférica finita también se denominan grupos de puntos en tres dimensiones. Hay cinco clases de simetría que tienen dominios fundamentales triangulares: diédrico, cíclico, tetraédrico, octaédrico e icosaédrico.

Este artículo enumera los grupos utilizando la notación de Schoenflies, la notación de Coxeter,^[1] y la notación orbifold,^[2] y también figura su orden. John Conway utilizó una variación de la notación Schoenflies, basada en la estructura algebraica de los grupos de los cuaterniones, etiquetada con una o dos letras mayúsculas y subíndices de números enteros. El orden del grupo se define como el subíndice, a menos que el orden se duplique para los símbolos con un prefijo más o menos, "±", lo que implica una simetría central.^[3]

También se proporciona la notación de Hermann-Mauguin (notación internacional). Los grupos cristalográficos, 32 en total, son un subconjunto con elementos de orden 2, 3, 4 y 6.^[4]

Simetría involutiva

Hay cuatro grupos de simetría involutivas: sin simetría (C₁), simetría especular (C_s), simetría rotacional doble (C₂) y simetría central (C_i).

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto
1	1	11	C₁	C₁	][ [ ]⁺	1	Z₁
2	2	22	D₁ = C₂	D₂ = C₂	[2]⁺	2	Z₂
1	22	×	C_i = S₂	CC₂	[2⁺,2⁺]	2	Z₂
2 = m	1	*	C_s = C_1v = C_1h	±C₁ = CD₂	[ ]	2	Z₂

Simetría cíclica

Hay cuatro familias de simetría cíclica infinitas, con n = 2 o superior. (n puede ser 1 como un caso especial, como sin simetría)

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
4	42	2×	S₄	CC₄	[2⁺,4⁺]	4	Z₄
2/m	22	2*	C_2h = D_1d	±C₂ = ±D₂	[2,2⁺] [2⁺,2]	4	Z₄

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto
2 3 4 5 6 n	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	[2]⁺ [3]⁺ [4]⁺ [5]⁺ [6]⁺ [n]⁺	2 3 4 5 6 n	Z₂ Z₃ Z₄ Z₅ Z₆ Z_n
2mm 3m 4mm 5m 6mm nm (n es impar) nmm (n es par)	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C_2v C_3v C_4v C_5v C_6v C_nv	CD₄ CD₆ CD₈ CD₁₀ CD₁₂ CD_2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n	D₄ D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	±C₃ CC₈ ±C₅ CC₁₂ CC_2n / ±C_n	[2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺,2n⁺]	6 8 10 12 2n	Z₆ Z₈ Z₁₀ Z₁₂ Z_2n
3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m	32 42 52 62 n2	3* 4* 5* 6* n*	C_3h C_4h C_5h C_6h C_nh	CC₆ ±C₄ CC₁₀ ±C₆ ±C_n / CC_2n	[2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2,n⁺]	6 8 10 12 2n	Z₆ Z₂×Z₄ Z₁₀ Z₂×Z₆ Z₂×Z_n ≅Z_2n (n impar)

Simetría diédrica

Hay tres familias de simetría diédrica infinitas, con n = 2 o superior (n puede ser 1 como caso especial).

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto
222	2.2	222	D₂	D₄	[2,2]⁺	4	D₄
42m	42	2*2	D_2d	DD₈	[2⁺,4]	8	D₄
mmm	22	*222	D_2h	±D₄	[2,2]	8	Z₂×D₄

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto
32 422 52 622	3.2 4.2 5.2 6.2 n.2	223 224 225 226 22n	D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2,n]⁺	6 8 10 12 2n	D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n
3m 82m 5m 12.2m	62 82 10.2 12.2 n2	23 24 25 26 2*n	D_3d D_4d D_5d D_6d D_nd	±D₆ DD₁₆ ±D₁₀ DD₂₄ DD_4n / ±D_2n	[2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺,2n]	12 16 20 24 4n	D₁₂ D₁₆ D₂₀ D₂₄ D_4n
6m² 4/mmm 10m² 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D_3h D_4h D_5h D_6h D_nh	DD₁₂ ±D₈ DD₂₀ ±D₁₂ ±D_2n / DD_4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n	D₁₂ Z₂×D₈ D₂₀ Z₂×D₁₂ Z₂×D_2n ≅D_4n (n impar)

Simetría poliédrica

Véase también: Grupos poliédricos

Hay tres tipos de simetría poliédrica: la simetría tetraédrica, la simetría octaédrica y la simetría icosaédrica, llamados así por los poliedros regulares de caras triangulares con estas simetrías.

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto
23	3.3	332	T	T	[3,3]⁺ = [4,3⁺]⁺	12	A₄
m3	43	3*2	T_h	±T	[4,3⁺]	24	2×A₄
43m	33	*332	T_d	TO	[3,3] = [1⁺,4,3]	24	S₄

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
432	4.3	432	O	O	[4,3]⁺ = [[ 3,3]]⁺	24	S₄
m3m	43	*432	O_h	±O	[4,3] = [[ 3,3]]	48	2×S₄

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
532	5.3	532	I	I	[5,3]⁺	60	A₅
532/m	53	*532	I_h	±I	[5,3]	120	2×A₅

Véase también

Referencias

↑ Johnson, 2015
↑ Conway, John H. (2008). The symmetries of things. Wellesley, Mass: A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-220-5. OCLC 181862605.
↑ Conway, John; Smith, Derek A. (2003). On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry. Natick, Mass: A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-134-5. OCLC 560284450.
↑ Sands, 1993

Lecturas relacionadas

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
Sands, Donald E. (1993). «Crystal Systems and Geometry». Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, Table 11.4 Finite Groups of Isometries in 3-space

Enlaces externos

Grupos de simetría esférica finita
Weisstein, Eric W. «Schoenflies symbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Crystallographic point groups». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría, por David I. McCooey

Datos: Q6640332

[1] Johnson, 2015

[Conway_2008-2] Conway, John H. (2008). The symmetries of things. Wellesley, Mass: A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-220-5. OCLC 181862605.

[Conway_2003-3] Conway, John; Smith, Derek A. (2003). On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry. Natick, Mass: A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-134-5. OCLC 560284450.

[4] Sands, 1993

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[4]