Anillo de fracciones

En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo ${\displaystyle A}$ y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de ${\displaystyle A}$ es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio ${\displaystyle A}$ no lo sea.

Construcción del anillo de fracciones de un anillo

Sea ${\displaystyle A}$ un anillo conmutativo. Sea ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset A}$ un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:

• no contiene al cero del anillo: ${\displaystyle 0\notin {\mathcal {D}}}$.
• es multiplicativamente cerrado: ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}\implies ab\in {\mathcal {D}}}$.

Consideremos en ${\displaystyle A\times {\mathcal {D}}}$ la relación binaria

${\displaystyle (a,s)\!\sim \!(b,t)\ \Leftrightarrow \ \exists u\!\in {\mathcal {D}}\ :\ u(at-sb)=0}$.

Es fácil comprobar que ${\displaystyle \sim }$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente ${\displaystyle (A\times {\mathcal {D}})/\sim }$ que denotaremos por ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A\;}$. Indicaremos por ${\displaystyle a/s}$ o ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ a la clase del elemento ${\displaystyle (a,s)}$.

Las operaciones adición y producto dadas por

${\displaystyle {a \over s}+{b \over t}={at+bs \over st}}$

${\displaystyle {a \over s}\cdot {b \over t}={ab \over st}}$

están bien definidas y dotan a ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A}$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo ${\displaystyle A}$ respecto de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$: ${\displaystyle (\ {\mathcal {D}}^{-1}A,+,\cdot )}$.

La inclusión natural ${\displaystyle A\to {\mathcal {D}}^{-1}A}$

Dado un elemento fijo ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}}$ cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por

${\displaystyle A\to {\mathcal {D}}^{-1}A\ :\ a\mapsto {\tfrac {ad}{d}}}$.

La imagen ${\displaystyle {\frac {d'd}{d}}}$ de cada denominador ${\displaystyle d'\in {\mathcal {D}}}$ tiene un inverso multiplicativo ${\displaystyle {\tfrac {d}{d'd}}}$ en ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A}$.

No obstante, si el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ contiene divisores de cero, p.e. el elemento ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}}$ siendo ${\displaystyle bd=0}$, tendríamos

${\displaystyle b\mapsto {\frac {bd}{d}}={\frac {0}{d}}=0}$,

con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.^[1]​

En caso contrario, si el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo ${\displaystyle A}$ de manera natural en el anillo de fracciones ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A}$, que es de hecho el menor anillo que contiene a ${\displaystyle A}$, salvo isomorfismo, en el que cada denominador ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}}$ tiene inverso.

Cuando el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de ${\displaystyle A}$. Si ${\displaystyle A}$ es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de ${\displaystyle A}$.

Véase también

• Fracción.
• Cuerpo de fracciones.
• Inverso multiplicativo.

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. p. 261. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Ring of Fractions». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Total Ring of Fractions». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.