CW-complejo

En topología y geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en topología (especialmente en topología algebraica) y en geometría diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

Definición

Célula

En topología se denomina célula a un espacio topológico ${\displaystyle e}$ que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo ${\displaystyle n\geq 0}$ de manera que ${\displaystyle e\sim \mathbb {R} ^{n}}$ (donde ${\displaystyle \sim }$ representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que ${\displaystyle e}$ es una ${\displaystyle n}$-célula, y que la dimensión de ${\displaystyle e}$ es ${\displaystyle n}$ (denotado por ${\displaystyle |e|:=dim(e)=n}$).

Descomposición celular

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio topológico. Se dice que el par ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ es una descomposición celular de ${\displaystyle X}$ si ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ es una partición de ${\displaystyle X}$ en células, es decir, cada elemento de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ es una célula, ${\displaystyle X}$ es la unión de todos los elementos de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ y dos elementos distintos de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ son disjuntos (si ${\displaystyle e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}}$ y ${\displaystyle e_{1}\neq e_{2}}$, entonces ${\displaystyle e_{1}\cap e_{2}=\varnothing }$).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo ${\displaystyle n}$ una descomposición celular ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ de ${\displaystyle X}$, se denomina conjunto de ${\displaystyle n}$-células a la unión de todas las células de dimensión ${\displaystyle n}$ (es decir, a ${\displaystyle \bigcup _{e\in {\mathcal {E}}:|e|=n}e}$). Se denomina así mismo ${\displaystyle n}$-esqueleto al conjunto ${\displaystyle X^{n}:=\bigcup _{e\in {\mathcal {E}}:|e|\leq n}e}$, es decir, a la unión de los conjuntos de ${\displaystyle m}$-células, cuando ${\displaystyle m\leq n}$.

Si existiese algún ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ de forma que ${\displaystyle X=X^{n}}$, diremos que ${\displaystyle X}$ tiene dimensión finita. En ese caso, al menor ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ de forma que ${\displaystyle X=X^{n}}$ se le denomina dimensión de ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle n=dim(X)}$). En caso contrario (es decir, si ${\displaystyle X}$ no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de ${\displaystyle X}$ es infinita (${\displaystyle dim(X)=\infty }$). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si ${\displaystyle X}$ es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ una descomposición celular. Se dice que ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ es una CW-descomposición de ${\displaystyle X}$, o que ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ es una descomposición de tipo CW de ${\displaystyle X}$) si se cumple las siguientes condiciones:

• Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$ existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula ${\displaystyle e}$) ${\displaystyle \Phi _{e}:{\overline {B}}^{n}\longrightarrow X}$ de tal forma que ${\displaystyle \Phi _{e}|{B^{n}}}$ es un homeomorfismo entre ${\displaystyle B^{n}}$ y ${\displaystyle e}$, y ${\displaystyle \Phi _{e}(S^{n-1})\subseteq X^{n-1}}$ (donde aquí ${\displaystyle n=dim(e)}$, ${\displaystyle {\overline {B}}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||\leq 1\}}$, es decir, ${\displaystyle {\overline {B}}^{n}}$ representa a la bola cerrada de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ centrada en le origen y de radio 1, ${\displaystyle B^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||<1\}}$, es decir, ${\displaystyle B^{n}}$ representa a la bola abierta de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ centrada en el origen y de radio 1 y ${\displaystyle S^{n-1}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||=1\}}$ es la esfera de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de ${\displaystyle \Phi _{e}}$ a ${\displaystyle S^{n-1}}$ (esto es a ${\displaystyle \phi _{e}:=\Phi _{e}|_{S^{n-1}}}$) se la denomina aplicación sujeción para la célula ${\displaystyle e}$.
• Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$, su clausura ${\displaystyle {\overline {e}}}$ está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, ${\displaystyle {\overline {e}}}$ tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
• Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto ${\displaystyle F\subset X}$ es cerrado cuando y sólo cuando ${\displaystyle F\cap {\overline {e}}}$ lo es (cerrado) en ${\displaystyle {\overline {e}}}$, cualquiera que sea la célula ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$.