Condición de frontera de Neumann

En matemáticas, la condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann.^[1]​ Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

Ejemplos

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}\\{\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$ son números dados.

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP)

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ tal como:

${\displaystyle \nabla ^{2}y=0}$

donde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

Aquí ${\displaystyle \mathbf {n} }$ es la normal a la frontera ${\displaystyle \partial \Omega }$ y ${\displaystyle f}$ es una función escalar.

La derivada normal ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}}$ se define como:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)}$

donde ${\displaystyle \nabla }$ es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.

Véase también

• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de frontera mixta
• Condición de frontera de Cauchy
• Condición de frontera de Robin

Referencias

1. Cheng, A. y D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.