Convexidad logarítmica

En matemáticas, una función ${\displaystyle f}$ definida en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es logarítmicamente convexa si ${\displaystyle \log f(x)\,}$ es una función convexa de ${\displaystyle x\,}$.

Una función logarítmicamente convexa ${\displaystyle f\,}$ es convexa, porque es composición de dos funciones convexas, ${\displaystyle \exp \,}$ y ${\displaystyle \log f\,}$. La afirmación recíproca no siempre es cierta. Por ejemplo, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ es convexa, pero ${\displaystyle \log f(x)=\log x^{2}=2\log |x|\,}$ no es convexa, y por tanto ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$ no es logarítmicamente convexa. Sin embargo, ${\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}}$ sí es logarítmicamente convexa, pues ${\displaystyle \log e^{x^{2}}=x^{2}\,}$ es convexa. Otro ejemplo de función logarítmicamente convexa es la función gamma, restringida a los reales positivos (ver también el teorema de Bohr-Mollerup).

Referencias

Bibliografía

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

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