Decagrama (geometría)

No debe confundirse con Decagrama (música).

Decagrama regular
Imagen del polígono
Características
Tipo	Polígono estrellado
Lados	10
Vértices	10
Grupo de simetría	D10
Símbolo de Schläfli	{^10⁄3} t{^5⁄3}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Ángulo interior	72°
Propiedades
Estrellado, Cíclico, Isogonal, Isotoxal y Equilátero
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En geometría, un decagrama es un polígono estrellado de 10 lados. Es una figura regular, que contiene los vértices de un decágono regular, pero conectados de tres en tres. Su símbolo de Schläfli es {¹⁰⁄₃}.^[1]​

El nombre decagrama combina un prefijo numérico, deca-, con el sufijo griego -gram. El sufijo -gram deriva de γραμμῆς (grammēs) que significa línea recta.^[2]​

Decagrama regular

Para un decagrama regular de lado 1 construido sobre los vértices de un decágono regular, las proporciones de los puntos de intersección son las siguientes:

Se puede comprobar que la suma de estas cinco distancias es igual a uno, pues

${\displaystyle 3({\sqrt {5}}-2)+2\left({\frac {1}{2}}(7-3{\sqrt {5}})\right)=1,}$

y que el lado del decágono regular (la distancia entre dos vértices consecutivos), coincide con la suma de las dos primeras cantidades, y vale

${\displaystyle ({\sqrt {5}}-2)+{\frac {1}{2}}(7-3{\sqrt {5}})={\frac {1}{2}}(3-2{\sqrt {5}})=0.3819660113\ldots }$

Aplicaciones

Los decagramas se han utilizado como uno de los motivos decorativos en los azulejos girih.^[3]​

Figuras relacionadas

Un decagrama regular es un poligrama de 10 lados, representado por el símbolo {¹⁰⁄_n}, que contiene los mismos vértices que un decágono regular. Solo uno de estos poligramas, el {¹⁰⁄₃} (conectando los puntos de tres en tres), forma un polígono estrella regular, pero también hay tres poligramas de diez vértices que pueden interpretarse como compuestos regulares:

• {¹⁰⁄₅} es un compuesto de cinco dígonos degenerados 5{2}
• {¹⁰⁄₄} es un compuesto de dos pentagramas 2{⁵⁄₂}
• {¹⁰⁄₂} es un compuesto de dos pentágonos 2{5}^[4]​^[5]​

Forma	Convexo	Compuesto	Polígono estrellado	Compuestos
Imagen
Símbolo	{^10⁄1} = {10}	{^10⁄2} = 2{5}	{^10⁄3}	{^10⁄4} = 2{5/2}	{^10⁄5} = 5{2}

{¹⁰⁄₂} puede verse como el equivalente en 2D del compuesto del dodecaedro e icosaedro en 3D y del compuesto del hecatonicosacoro y hexacosicoro en 4D; es decir, el compuesto de dos politopos pentagonales en sus respectivas posiciones duales.

El tipo {¹⁰⁄₄} puede verse como el equivalente bidimensional del compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro o del compuesto de gran icosaedro y gran dodecaedro estrellado por razones similares. Tiene seis análogos tetradimensionales, dos de los cuales son compuestos de dos politopos estrellados autoduales, como el pentagrama mismo: el compuesto de dos grandes hecatonicosacoros y el compuesto de dos grandes hecatonicosacoros estrellados. Se puede ver una lista completa en Polytope composite#Compounds with duals.

Los truncamientos más profundos del pentágono y el pentagrama regulares pueden producir formas de polígonos de estrellas intermedias con diez vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista que permanecen transitivas a los vértices (cualquiera de los dos vértices se pueden transformar entre sí mediante una simetría de la figura).^[6]​^[7]​^[8]​

Truncamientos isogonales de pentágono y pentagrama

Cuasiregular	Isogonal		Cuasiregular Doble recubrimiento
t{5} = {10}			t{^5⁄4} = {^10⁄4} = 2{^5⁄2}
t{^5⁄3} = {^10⁄3}			t{^5⁄2} = {^10⁄2} = 2{5}

Véase también

• Anexo:Lista de politopos regulares y compuestos#Estrellas

Referencias

1. Barnes, John (2012), Gems of Geometry, Springer, pp. 28-29, ISBN 9783642309649 .
2. γραμμή, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
3. Sarhangi, Reza (2012), «Polyhedral Modularity in a Special Class of Decagram Based Interlocking Star Polygons», Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, pp. 165-174 ..
4. Regular polytopes, p 93-95, regular star polygons, regular star compounds
5. Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38
6. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum.
7. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 411. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. ISSN 0080-4614. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
8. Coxeter, The Densities of the Regular polytopes I, p.43 If d is odd, the truncation of the polygon {p/q} is naturally {2n/d}. But if not, it consists of two coincident {n/(d/2)}'s; two, because each side arises from an original side and once from an original vertex. Thus the density of a polygon is unaltered by truncation.